Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4, AD = 3, AA’ = 5. a) Tính đường chéo lớn nhất. b) Tính góc giữa đường chéo AC’ và mặt phẳng đáy ABCD. c) Tính khoảng cách giữa hai đường chéo không cắt nhau.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, c theo yêu cầu. a) Tính đường chéo lớn nhất Hình hộp chữ nhật có các cạnh \(AB = 4\), \(AD = 3\), \(AA' = 5\). Đường chéo lớn nhất của hình hộp chữ nhật là đường chéo không gian \(AC'\). Sử dụng định lý Pythagore trong không gian, ta có: \[ AC' = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA'^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Vậy, đường chéo lớn nhất của hình hộp chữ nhật là \(5\sqrt{2}\). b) Tính góc giữa đường chéo \(AC'\) và mặt phẳng đáy \(ABCD\) Để tính góc giữa đường chéo \(AC'\) và mặt phẳng đáy \(ABCD\), ta cần tìm góc giữa \(AC'\) và hình chiếu của nó trên mặt phẳng \(ABCD\), tức là đường chéo \(AC\). Sử dụng định lý cosin trong tam giác \(ACC'\): \[ \cos \theta = \frac{AC}{AC'} = \frac{\sqrt{AB^2 + AD^2}}{AC'} = \frac{\sqrt{4^2 + 3^2}}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{16 + 9}}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Vậy, góc giữa đường chéo \(AC'\) và mặt phẳng \(ABCD\) là \(45^\circ\). c) Tính khoảng cách giữa hai đường chéo không cắt nhau Hai đường chéo không cắt nhau trong hình hộp chữ nhật là \(AC'\) và \(BD'\). Để tính khoảng cách giữa hai đường chéo này, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo không cắt nhau trong hình hộp chữ nhật: Khoảng cách giữa hai đường chéo không cắt nhau là: \[ d = \frac{|AA' \cdot BD|}{\sqrt{AB^2 + AD^2 + AA'^2}} \] Trong đó, \(BD\) là đường chéo của mặt đáy \(ABCD\): \[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường chéo là: \[ d = \frac{|5 \cdot 5|}{\sqrt{50}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Vậy, khoảng cách giữa hai đường chéo không cắt nhau là \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).