Hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA ⟂ (ABC), SA = a√3, AB = AC = a. a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC). b) Tính khoảng cách từ S đến BC. c) Tính thể tích hình chóp.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC): Vì SA ⟂ (ABC), nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SB và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC), tức là đường thẳng AB. Ta có tam giác ABC vuông tại A với AB = AC = a, do đó BC là cạnh huyền và được tính bằng định lý Pythagore: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}. \] Trong tam giác vuông SAB, với SA ⟂ AB, ta có: \[ \tan \angle (SB, (ABC)) = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}. \] Do đó, góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là \( \angle (SB, (ABC)) = 60^\circ \). b) Tính khoảng cách từ S đến BC: Để tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC, ta cần tìm hình chiếu vuông góc của S lên BC. Vì SA ⟂ (ABC) và BC nằm trong (ABC), nên hình chiếu của S lên BC chính là điểm H, là chân đường vuông góc từ S xuống BC. Trong tam giác vuông SAB, ta có: \[ SH = SA \cdot \sin \angle SAB = a\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}. \] Vậy khoảng cách từ S đến BC là \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \). c) Tính thể tích hình chóp: Thể tích của hình chóp S.ABC được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}. \] Diện tích đáy ABC là diện tích của tam giác vuông tại A: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}. \] Chiều cao của hình chóp là SA = \( a\sqrt{3} \). Do đó, thể tích của hình chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}. \] Tóm lại: a) Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là \( 60^\circ \). b) Khoảng cách từ S đến BC là \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \). c) Thể tích hình chóp là \( \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \).