giúp mình với

Câu 1: Để xác định phương trình nào trong các phương trình đã cho là vô nghiệm, chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị của các hàm lượng giác có nằm trong miền giá trị cho phép hay không. 1. Phương trình \( A. \sin x = \frac{1}{2} \): - Miền giá trị của hàm \(\sin x\) là \([-1, 1]\). - Giá trị \(\frac{1}{2}\) nằm trong miền này, do đó phương trình này có nghiệm. 2. Phương trình \( B. \tan x = \sqrt{3} \): - Hàm \(\tan x\) có miền giá trị là \(\mathbb{R}\) (tức là tất cả các số thực). - Giá trị \(\sqrt{3}\) là một số thực, do đó phương trình này có nghiệm. 3. Phương trình \( C. \sin x = 3 \): - Miền giá trị của hàm \(\sin x\) là \([-1, 1]\). - Giá trị \(3\) nằm ngoài miền này, do đó phương trình này vô nghiệm. 4. Phương trình \( D. \cos x = -\frac{1}{2} \): - Miền giá trị của hàm \(\cos x\) là \([-1, 1]\). - Giá trị \(-\frac{1}{2}\) nằm trong miền này, do đó phương trình này có nghiệm. Kết luận: Phương trình vô nghiệm là \( C. \sin x = 3 \). Đáp án: \( C. \sin x = 3 \). Câu 2: Để giải phương trình \(\sin x = -1\), chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(\sin x = -1\). Biết rằng \(\sin x = -1\) tại \(x = -\frac{\pi}{2}\). Vì hàm số \(\sin x\) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\), nên các nghiệm của phương trình sẽ lặp lại mỗi \(2\pi\). Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình \(\sin x = -1\) là: \[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Câu 3: Để giải phương trình $\sin3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định các góc mà sin của nó bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ trong khoảng từ $0$ đến $2\pi$: - Ta biết rằng $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. Viết các nghiệm tổng quát cho phương trình $\sin3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: - Từ đó, ta có $3x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $3x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. 3. Giải các phương trình trên để tìm $x$: - $3x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \implies x = \frac{\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3}$. - $3x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \implies x = \frac{2\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3}$. 4. Kết luận các nghiệm của phương trình: - Các nghiệm của phương trình là: \[ \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3},~k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3},~k \in \mathbb{Z} \end{array}\right. \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A. \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3},~k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2\pi}{9} + \frac{k2\pi}{3},~k \in \mathbb{Z} \end{array}\right. \] Câu 4: Để giải phương trình \(2\sin x + 1 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Chuyển vế để tìm giá trị của \(\sin x\): \[ 2\sin x + 1 = 0 \implies 2\sin x = -1 \implies \sin x = -\frac{1}{2} \] 2. Xác định các góc mà \(\sin x = -\frac{1}{2}\). Các góc này nằm trong khoảng từ \(0\) đến \(2\pi\): \[ x = \frac{7\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{11\pi}{6} \] 3. Vì hàm số \(\sin x\) là tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\), nên nghiệm tổng quát của phương trình sẽ là: \[ x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, nghiệm của phương trình \(2\sin x + 1 = 0\) là: \[ x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Đáp án đúng là: \[ D.~x=\frac{-\pi}6+k2\pi \quad \text{và} \quad x=\frac{7\pi}6+k2\pi. \] Câu 5: Ta có: $\sin2x=1 \Leftrightarrow \sin2x=\sin\frac{\pi}{2}$ $\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,~(k\in\mathbb{Z})$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,~(k\in\mathbb{Z}).$ Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \( S=\left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi ,~k\in \mathbb{Z} \right\}. \) Đáp án đúng: B. \(\left\{ \frac{\pi }{4}+k\pi ,~k\in \mathbb{Z} \right\}\). Câu 6: Để giải phương trình \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho cosin của \(x\) bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). 1. Xác định các góc cơ bản: Ta biết rằng \(\cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(\cos \left( \frac{7\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Tuy nhiên, vì tính chất tuần hoàn của hàm cosin, ta chỉ cần xét hai góc cơ bản này trong khoảng \([0, 2\pi)\). 2. Viết nghiệm tổng quát: Các nghiệm của phương trình \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) trong khoảng \([0, 2\pi)\) là: \[ x = \frac{5\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{7\pi}{6} \] 3. Tổng quát hóa nghiệm: Do tính chất tuần hoàn của hàm cosin với chu kỳ \(2\pi\), ta có thể viết nghiệm tổng quát như sau: \[ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. Rút gọn nghiệm: Ta có thể rút gọn nghiệm trên thành: \[ x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập nghiệm của phương trình \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) là: \[ \boxed{A.~\{x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi; k \in \mathbb{Z}\}} \] Câu 7: Để giải phương trình \(\cos 2x = -1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(2x\) sao cho \(\cos 2x = -1\): \[ \cos 2x = -1 \implies 2x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 2. Giải phương trình trên để tìm \(x\): \[ 2x = \pi + k2\pi \implies x = \frac{\pi + k2\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] 3. Viết tập nghiệm của phương trình: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do đó, tập nghiệm của phương trình \(\cos 2x = -1\) là: \[ \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ C.~\left\{ -\frac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Tuy nhiên, đáp án này không hoàn toàn chính xác vì nó thiếu sự tương đương với \( \frac{\pi}{2} + k\pi \). Đáp án chính xác nhất là: \[ \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Câu 8: Để giải phương trình \(2\cos x - 1 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Chuyển vế để tách \(\cos x\): \[ 2\cos x - 1 = 0 \implies 2\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2} \] 2. Xác định các giá trị của \(x\) sao cho \(\cos x = \frac{1}{2}\). Ta biết rằng: \[ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 3. Kết luận nghiệm của phương trình: \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~x=\pm\frac\pi3+k2\pi,~k\in\mathbb{Z}.} \] Câu 9: Phương trình đã cho tương đương với $\sin x=\frac{1}{2}$. Ta thấy $\frac{\pi}{6}\in(0;\pi)$ và $\frac{5\pi}{6}\in(0;\pi)$. Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$. Câu 10: Để giải phương trình \(\sin x - \cos x = 1\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhân cả hai vế của phương trình với \(\sqrt{2}\): \[ \sqrt{2} (\sin x - \cos x) = \sqrt{2} \cdot 1 \] \[ \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x = \sqrt{2} \] 2. Biến đổi phương trình về dạng tổng quát: Ta biết rằng \(\sin x - \cos x\) có thể viết dưới dạng \(\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)\). Do đó: \[ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \] \[ \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = 1 \] \[ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1 \] 3. Giải phương trình \(\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1\): \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] 4. Kiểm tra các đáp án đã cho: - \(A. -\frac{\pi}{2}\): \[ \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) - \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1 - 0 = -1 \neq 1 \] Không thỏa mãn. - \(B. \frac{\pi}{4}\): \[ \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \neq 1 \] Không thỏa mãn. - \(C. \frac{2\pi}{3}\): \[ \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) - \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \neq 1 \] Không thỏa mãn. - \(D. \pi\): \[ \sin (\pi) - \cos (\pi) = 0 - (-1) = 1 \] Thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình \(\sin x - \cos x = 1\) là \(D. \pi\). Đáp án: \(D. \pi\)