giúp mình với

Câu 11: Điều kiện xác định: Tất cả các giá trị của \( x \). Ta có: \[ \sin^4 x - \cos^4 x = 0 \] \[ (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = 0 \] \[ (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \] Do \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) luôn đúng, nên ta có: \[ \sin^2 x - \cos^2 x = 0 \] \[ \sin^2 x = \cos^2 x \] \[ \sin x = \pm \cos x \] Trường hợp 1: \( \sin x = \cos x \) \[ \tan x = 1 \] \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Trường hợp 2: \( \sin x = -\cos x \) \[ \tan x = -1 \] \[ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Kết hợp hai trường hợp trên, ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Đáp án đúng là: \[ C.~x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Câu 12: Để giải phương trình \(\sin x = \frac{2}{3}\) trên khoảng \((- \pi; \pi)\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(\sin x\): - Ta biết rằng \(\sin x = \frac{2}{3}\). 2. Xác định các góc trong khoảng \((- \pi; \pi)\): - Trên đường tròn lượng giác, \(\sin x = \frac{2}{3}\) sẽ có hai nghiệm trong khoảng \((- \pi; \pi)\): - Một nghiệm nằm trong khoảng \((0; \pi)\). - Một nghiệm nằm trong khoảng \((- \pi; 0)\). 3. Tìm nghiệm cụ thể: - Gọi \(x_1\) là nghiệm trong khoảng \((0; \pi)\). Ta có \(x_1 = \arcsin \left( \frac{2}{3} \right)\). - Gọi \(x_2\) là nghiệm trong khoảng \((- \pi; 0)\). Ta có \(x_2 = -\arcsin \left( \frac{2}{3} \right)\). 4. Kiểm tra các nghiệm: - \(x_1 = \arcsin \left( \frac{2}{3} \right)\) nằm trong khoảng \((0; \pi)\). - \(x_2 = -\arcsin \left( \frac{2}{3} \right)\) nằm trong khoảng \((- \pi; 0)\). Do đó, phương trình \(\sin x = \frac{2}{3}\) có 2 nghiệm trong khoảng \((- \pi; \pi)\). Đáp án: C. 2. Câu 13: Để giải phương trình \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\), chúng ta cần tìm tất cả các giá trị của \(x\) sao cho \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Trước tiên, chúng ta biết rằng \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) hoặc \(\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) với \(k\) là số nguyên. Áp dụng vào phương trình \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi.\] Giải các phương trình này để tìm \(x\): \[x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi.\] Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) trong khoảng từ \(0\) đến \(2\pi\). 1. Đối với \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\): - Khi \(k = 0\), \(x = \frac{\pi}{6}\). - Khi \(k = 1\), \(x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}\). - Khi \(k = 2\), \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\) (không nằm trong khoảng từ \(0\) đến \(2\pi\)). 2. Đối với \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\): - Khi \(k = 0\), \(x = \frac{\pi}{3}\). - Khi \(k = 1\), \(x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}\). - Khi \(k = 2\), \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}\) (không nằm trong khoảng từ \(0\) đến \(2\pi\)). Vậy các nghiệm của phương trình trong khoảng từ \(0\) đến \(2\pi\) là: \[x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}.\] Như vậy, số các nghiệm của phương trình là 4. Do đó, đáp án đúng là: \[D.~n=4.\] Câu 14: Để giải phương trình \(\sin 2x = 1\), ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(\sin 2x = 1\). 1. Tìm nghiệm của phương trình \(\sin 2x = 1\): Phương trình \(\sin 2x = 1\) có nghiệm khi: \[ 2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Từ đó, ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 2. Xác định các giá trị \(x\) trong khoảng \([0; 2018\pi]\): Ta cần tìm các giá trị \(k\) sao cho: \[ 0 \leq \frac{\pi}{4} + k\pi \leq 2018\pi \] - Giải bất phương trình: \[ \frac{\pi}{4} + k\pi \leq 2018\pi \] \[ k\pi \leq 2018\pi - \frac{\pi}{4} \] \[ k \leq 2018 - \frac{1}{4} \] \[ k \leq 2017.75 \] Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k \leq 2017\). - Giải bất phương trình: \[ \frac{\pi}{4} + k\pi \geq 0 \] \[ k\pi \geq -\frac{\pi}{4} \] \[ k \geq -\frac{1}{4} \] Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k \geq 0\). Vậy \(k\) có thể nhận các giá trị từ \(0\) đến \(2017\). 3. Tính tổng các nghiệm: Các nghiệm \(x\) là: \[ x_k = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, 2017 \] Tổng các nghiệm là: \[ S = \sum_{k=0}^{2017} \left(\frac{\pi}{4} + k\pi\right) \] Tách tổng: \[ S = \sum_{k=0}^{2017} \frac{\pi}{4} + \sum_{k=0}^{2017} k\pi \] - Tính \(\sum_{k=0}^{2017} \frac{\pi}{4} = 2018 \times \frac{\pi}{4} = \frac{2018\pi}{4}\). - Tính \(\sum_{k=0}^{2017} k\pi = \pi \sum_{k=0}^{2017} k = \pi \times \frac{2017 \times 2018}{2}\). Tính \(\sum_{k=0}^{2017} k\): \[ \sum_{k=0}^{2017} k = \frac{2017 \times 2018}{2} = 2033136 \] Vậy: \[ S = \frac{2018\pi}{4} + 2033136\pi = \frac{2018\pi}{4} + \frac{4066272\pi}{2} \] Quy đồng mẫu: \[ S = \frac{2018\pi}{4} + \frac{8132544\pi}{4} = \frac{8134562\pi}{4} \] Do đó, tổng các nghiệm là: \[ S = \frac{4071315\pi}{2} \] Vậy đáp án đúng là \(A.~S=\frac{4071315\pi}{2}.\) Câu 15: Để giải phương trình \(\cos x + \sin 2x = 0\) trong khoảng \((- \pi; \pi)\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: \[ \cos x + \sin 2x = 0 \] Sử dụng công thức \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), ta có: \[ \cos x + 2 \sin x \cos x = 0 \] Bước 2: Đặt nhân tử chung \(\cos x\) ra ngoài: \[ \cos x (1 + 2 \sin x) = 0 \] Bước 3: Giải phương trình tích bằng cách xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: \(\cos x = 0\) \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Trong khoảng \((- \pi; \pi)\), các nghiệm là: \[ x = -\frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} \] - Trường hợp 2: \(1 + 2 \sin x = 0\) \[ 2 \sin x = -1 \implies \sin x = -\frac{1}{2} \] Các nghiệm của phương trình \(\sin x = -\frac{1}{2}\) trong khoảng \((- \pi; \pi)\) là: \[ x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{7\pi}{6} \] Bước 4: Kết luận số nghiệm của phương trình trong khoảng \((- \pi; \pi)\): Các nghiệm là: \[ x = -\frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2}, \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{7\pi}{6} \] Vậy số nghiệm của phương trình trong khoảng \((- \pi; \pi)\) là 4. Đáp án: B. 4. Câu 16: Ta có phương trình: \[ \sin5x - \sin x = 0 \] Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ \sin5x - \sin x = 2\cos3x \sin2x = 0 \] Từ đó suy ra: \[ 2\cos3x \sin2x = 0 \] Do đó, ta có hai trường hợp: 1. \(\cos3x = 0\) 2. \(\sin2x = 0\) Trường hợp 1: \(\cos3x = 0\) \[ 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \] Trường hợp 2: \(\sin2x = 0\) \[ 2x = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \] \[ x = \frac{n\pi}{2} \] Bây giờ, ta sẽ đếm số nghiệm trong đoạn \([-2018\pi; 2018\pi]\). Đối với \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\): \[ -2018\pi \leq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \leq 2018\pi \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ -12108\pi \leq \pi + 2k\pi \leq 12108\pi \] \[ -12108 \leq 1 + 2k \leq 12108 \] \[ -12109 \leq 2k \leq 12107 \] \[ -6054.5 \leq k \leq 6053.5 \] Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k\) nằm trong khoảng từ \(-6054\) đến \(6053\). Số lượng giá trị của \(k\) là: \[ 6053 - (-6054) + 1 = 12108 \] Đối với \(x = \frac{n\pi}{2}\): \[ -2018\pi \leq \frac{n\pi}{2} \leq 2018\pi \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ -4036\pi \leq n\pi \leq 4036\pi \] \[ -4036 \leq n \leq 4036 \] Số lượng giá trị của \(n\) là: \[ 4036 - (-4036) + 1 = 8073 \] Tổng số nghiệm trong đoạn \([-2018\pi; 2018\pi]\) là: \[ 12108 + 8073 = 20181 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{20181} \] Câu 17: Để tìm số điểm mà đồ thị của hai hàm số \( y = \sin x \) và \( y = \cos x \) cắt nhau trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\), ta cần giải phương trình: \[ \sin x = \cos x \] Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng: \[ \tan x = 1 \] Phương trình \(\tan x = 1\) có nghiệm tổng quát là: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Bây giờ, ta sẽ tìm các giá trị của \(x\) trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). 1. Với \(k = -3\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{11\pi}{4} \] Giá trị này không nằm trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). 2. Với \(k = -2\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \] Giá trị này nằm trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). 3. Với \(k = -1\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \] Giá trị này nằm trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). 4. Với \(k = 0\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} \] Giá trị này nằm trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). 5. Với \(k = 1\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \] Giá trị này nằm trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). 6. Với \(k = 2\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \] Giá trị này nằm trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). 7. Với \(k = 3\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4} \] Giá trị này không nằm trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). Vậy, có 5 giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện, đó là: \(-\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\). Do đó, đồ thị của hai hàm số \( y = \sin x \) và \( y = \cos x \) cắt nhau tại 5 điểm trong đoạn \([-2\pi; \frac{5\pi}{2}]\). Đáp án đúng là A. 5. Câu 18: Phương trình đã cho tương đương với $\cos(x-\frac{\pi}{3})=2m.$ Phương trình này vô nghiệm khi $|2m|>1\Leftrightarrow |m|>\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}m> \frac{1}{2}\\m< -\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$ Vậy chọn đáp án A. Câu 19: Để phương trình $\cos^2(\pi x) = m^2 - 9$ có nghiệm, ta cần đảm bảo rằng vế trái nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (vì $\cos^2(\theta)$ luôn nằm trong đoạn [0, 1] cho mọi $\theta$). Do đó, ta có: \[ 0 \leq m^2 - 9 \leq 1 \] Bây giờ, ta sẽ giải bất phương trình này từng bước: 1. Giải bất phương trình phía trên: \[ 0 \leq m^2 - 9 \] \[ m^2 \geq 9 \] 2. Giải bất phương trình phía dưới: \[ m^2 - 9 \leq 1 \] \[ m^2 \leq 10 \] Kết hợp hai kết quả trên, ta có: \[ 9 \leq m^2 \leq 10 \] Tiếp theo, ta tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện này. 3. Tìm các giá trị nguyên của m: \[ 9 \leq m^2 \leq 10 \] Các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện này là: \[ m = -3, -2, 2, 3 \] Tuy nhiên, vì đề bài yêu cầu tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m, ta cần kiểm tra lại các giá trị này: - Khi \( m = -3 \): \[ m^2 = 9 \] \[ 9 \leq 9 \leq 10 \] (thỏa mãn) - Khi \( m = -2 \): \[ m^2 = 4 \] \[ 9 \leq 4 \leq 10 \] (không thỏa mãn) - Khi \( m = 2 \): \[ m^2 = 4 \] \[ 9 \leq 4 \leq 10 \] (không thỏa mãn) - Khi \( m = 3 \): \[ m^2 = 9 \] \[ 9 \leq 9 \leq 10 \] (thỏa mãn) Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện là: \[ m = -3, 3 \] Do đó, có 2 giá trị nguyên của m. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 20: Để xác định các thời điểm \( t \) mà tại đó vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( v(t) = -3\sin(1,5t + \frac{\pi}{3}) \). 1. Xác định giá trị lớn nhất của hàm số: Hàm số \( \sin(x) \) có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1. Do đó, hàm số \( -3\sin(x) \) sẽ có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -3. 2. Tìm thời điểm \( t \) để \( v(t) \) đạt giá trị lớn nhất: Để \( v(t) \) đạt giá trị lớn nhất 3, ta cần: \[ -3\sin(1,5t + \frac{\pi}{3}) = 3 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ \sin(1,5t + \frac{\pi}{3}) = -1 \] 3. Giải phương trình lượng giác: Phương trình \( \sin(\theta) = -1 \) có nghiệm tổng quát là: \[ \theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Thay \( \theta = 1,5t + \frac{\pi}{3} \): \[ 1,5t + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] 4. Giải phương trình để tìm \( t \): \[ 1,5t + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] Chuyển \( \frac{\pi}{3} \) sang vế phải: \[ 1,5t = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] Quy đồng mẫu số: \[ 1,5t = \frac{9\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \] Chia cả hai vế cho 1,5: \[ t = \frac{7\pi}{9} + \frac{4k\pi}{3} \] 5. Kết luận: Các thời điểm \( t \) mà tại đó vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất là: \[ t = \frac{7\pi}{9} + \frac{4k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~t=\frac{7\pi}{9}+\frac{4\pi}{3}k,~k\in\mathbb{Z}.} \]