Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{3c}$. CMR: $a^2+4b^2+9c^2$ là số chính phương.

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{3c}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{1}{3c}-\frac{1}{2b}=\frac{2b-3c}{6bc}$ $\Leftrightarrow a=\frac{6bc}{2b-3c}.$ Ta thấy $a$ là số nguyên nên $2b-3c$ là ước của $6bc.$ Đặt $2b-3c=6k$ $(k\in \mathbb{Z})$ thì $b=3k+\frac{3c}{2}.$ Do $b$ là số nguyên nên $c$ chia hết cho 2. Đặt $c=2m$ $(m\in \mathbb{Z}).$ Khi đó $b=3k+3m.$ Thay vào $2b-3c=6k$ ta được $6k+6m-6m=6k$ (luôn đúng). Vậy $a=m,$ $b=3k+3m,$ $c=2m.$ Ta có $a^2+4b^2+9c^2=m^2+4(3k+3m)^2+9(2m)^2=(9k+15m)^2.$ Vậy $a^2+4b^2+9c^2$ là số chính phương.