Cho đa thức $f\left(x\right)=x^2+ax+b$ thỏa mãn $f\left(-1\right)=2$ và $f\left(1\right)=12$. Tìm nghiệm của đa thức $f(x)$.

Thay $x=-1$ vào đa thức $f\left(x\right)=x^2+ax+b$, ta được: $f\left(-1\right)=(-1)^2+a\times (-1)+b=1-a+b$ Theo đề bài, $f\left(-1\right)=2$, suy ra $1-a+b=2$. Do đó, $-a+b=1$ (1) Thay $x=1$ vào đa thức $f\left(x\right)=x^2+ax+b$, ta được: $f\left(1\right)=1^2+a\times 1+b=1+a+b$ Theo đề bài, $f\left(1\right)=12$, suy ra $1+a+b=12$. Do đó, $a+b=11$ (2) Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được: $-a+b+a+b=1+11$ $2b=12$ $b=6$ Thay $b=6$ vào (1), ta được: $-a+6=1$ $-a=1-6$ $-a=-5$ $a=5$ Vậy đa thức đã cho là $f\left(x\right)=x^2+5x+6$. Ta có: $f\left(x\right)=x^2+5x+6=x^2+2\times \frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+6=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{1}{4}$ Để $f(x)=0$, ta có: $(x+\frac{5}{2})^2-\frac{1}{4}=0$ $(x+\frac{5}{2})^2=\frac{1}{4}$ $x+\frac{5}{2}=\pm \frac{1}{2}$ Từ đây, ta có hai trường hợp: 1. $x+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$ $x=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}$ $x=-2$ 2. $x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$ $x=-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}$ $x=-3$ Vậy nghiệm của đa thức $f(x)$ là $x=-2$ và $x=-3$.