Giúp mik vs ạ

Câu 9: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = x^2 - 4x + 11 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 11) = 2x - 4 \] 2. Xét dấu của biểu thức \( \sin A \): - Nếu \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \), thì \( \alpha = 30^\circ \) hoặc \( \alpha = 150^\circ \). 3. Tìm nghiệm của đạo hàm: \[ 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \] 4. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng: - Khi \( x < 2 \), chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = 2(1) - 4 = -2 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; 2) \). - Khi \( x > 2 \), chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = 2(3) - 4 = 2 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \). Vậy hàm số \( y = x^2 - 4x + 11 \) đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \). Đáp án đúng là: \( C.~(2;+\infty) \). Câu 10: Để tìm khoảng đồng biến của hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \), chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xác định dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4 \] 2. Xác định điều kiện cho phép chia: - Đặt \( A = 2024 \) - Nếu \( A \geq B \), thì \( C = A - B \) - Nếu \( A < B \), thì \( C = B - A \) 3. Tìm nghiệm của đạo hàm: \[ 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \] 4. Xét dấu của đạo hàm \( y' = 2x - 4 \): - Khi \( x > 2 \), \( 2x - 4 > 0 \) nên \( y' > 0 \). Hàm số đồng biến. - Khi \( x < 2 \), \( 2x - 4 < 0 \) nên \( y' < 0 \). Hàm số nghịch biến. Vậy khoảng đồng biến của hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \) là \( (2; +\infty) \). Đáp án đúng là: \( D.~(2;+\infty) \). Câu 11: Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \) có đạo hàm là: \[ y' = 2x - 4 \] 2. Giải phương trình \( y = 0 \) Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( f(x) \) = 0 \): \[ 2x - 4 = 0 \] Giải phương trình này: \[ 2x = 4 \implies x = 2 \] 3. Xác định dấu của đạo hàm: Ta sẽ kiểm tra dấu của \( y' \) trong các khoảng được tạo bởi điểm \( x = 2 \). - Khi \( x < 2 \): Chọn một giá trị \( x \) bất kỳ nhỏ hơn 2, ví dụ \( x = 1 \): \[ y'(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2 \quad (\text{âm}) \] - Khi \( x > 2 \): Chọn một giá trị \( x \) bất kỳ lớn hơn 2, ví dụ \( x = 3 \): \[ y'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 \quad (\text{dương}) \] 4. Kết luận: Hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \) nghịch biến khi đạo hàm \( y' \) âm, tức là khi \( x < 2 \). Do đó, khoảng nghịch biến của hàm số là: \[ (-\infty; 2) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~(-\infty; 2)} \] Câu 12: Để xác định tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số \( y = -x^2 + 4x + 3 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số này. Tuy nhiên, theo yêu cầu của bài toán, chúng ta không sử dụng khái niệm đạo hàm. Thay vào đó, ta sẽ dựa vào tính chất của hàm bậc hai. Hàm số \( y = -x^2 + 4x + 3 \) là một hàm bậc hai có dạng tổng quát \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 3 \). Do \( a = -1 < 0 \), đồ thị của hàm số này là một parabol mở xuống. Điều này có nghĩa là hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol và sau đó giảm dần. Đỉnh của parabol \( y = -x^2 + 4x + 3 \) được xác định bởi công thức \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = \frac{4}{2} = 2. \] Như vậy, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 2 \). Trước điểm này, hàm số tăng (đồng biến), và sau điểm này, hàm số giảm (nghịch biến). Do đó, hàm số \( y = -x^2 + 4x + 3 \) nghịch biến trên khoảng \( (2; +\infty) \). Vậy khẳng định đúng là: D. Hàm số nghịch biến trên \( (2; +\infty) \). Câu 13: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x - 2 \] Bước 2: Xét dấu của \( f'(x) \): \[ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x+1=0 \] \[ \[ \begin{cases} \end{cases} \] Ta thấy rằng \( f'(x) > 0 \) khi \( 2x - 2 > 0 \), tức là \( x > 1 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (1; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(1;+\infty) \] Câu 14: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = -3x^2 + x - 2 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + x - 2) = -6x + 1 \] 2. Xét dấu của đạo hàm bậc hai hoặc các phương pháp cao hơn không được phép sử dụng trong quá trình giải. Tìm giá trị của \( x \) sao cho \( y' = 0 \): \[ -6x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{6} \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng: - Khi \( x < \frac{1}{6} \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = -6(0) + 1 = 1 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{6}) \). - Khi \( x > \frac{1}{6} \), chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = -6(1) + 1 = -5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (\frac{1}{6}, +\infty) \). Vậy hàm số \( y = -3x^2 + x - 2 \) nghịch biến trên khoảng \( (\frac{1}{6}, +\infty) \). Đáp án đúng là: \( A.~(\frac{1}{6};+\infty) \). Câu 15: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = -x^2 + 6x - 1 \) đồng biến, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x - 1) = -2x + 6 \] 2. Xét dấu của biểu thức trong căn, nếu có. 10. Đăt ẩn phụ phải có đk kiện. Câu 16: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = x^2 - 3mx + m^2 + 1 \) khi \( m = 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay \( m = 1 \) vào hàm số: \[ y = x^2 - 3(1)x + (1)^2 + 1 = x^2 - 3x + 2 \] 2. Tính đạo hàm của hàm số \( y \): \[ y' = 2x - 3 \] 3. Xác định khoảng đồng biến của hàm số bằng cách giải bất phương trình \( y' > 0 \): \[ 2x - 3 > 0 \] \[ 2x > 3 \] \[ x > \frac{3}{2} \] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( \left( \frac{3}{2}; +\infty \right) \). Đáp án đúng là: \[ D.~\left( \frac{3}{2}; +\infty \right) \] Câu 17: Để hàm số \( y = x^2 - 2(m+1)x - 3 \) đồng biến trên khoảng \( (4; 2018) \), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số \( y' \geq 0 \) trên toàn bộ khoảng này. Tuy nhiên, vì chúng ta không sử dụng khái niệm đạo hàm, ta sẽ dựa vào tính chất của hàm số bậc hai. Hàm số \( y = x^2 - 2(m+1)x - 3 \) là một hàm số bậc hai có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = -2(m+1) \), và \( c = -3 \). Đỉnh của parabol này nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} = \frac{2(m+1)}{2} = m+1 \). Để hàm số đồng biến trên khoảng \( (4; 2018) \), đỉnh của parabol phải nằm bên trái hoặc trùng với điểm đầu của khoảng này. Điều này có nghĩa là \( m+1 \leq 4 \). Giải bất phương trình: \[ m + 1 \leq 4 \] \[ m \leq 3 \] Vì \( m \) là giá trị nguyên dương, nên các giá trị có thể của \( m \) là \( 1, 2, 3 \). Vậy có 3 giá trị nguyên dương của tham số \( m \) để hàm số \( y = x^2 - 2(m+1)x - 3 \) đồng biến trên khoảng \( (4; 2018) \). Đáp án đúng là: D. 3. Câu 18: Để hàm số \( y = x^2 + 2(b+6)x + 4 \) đồng biến trên khoảng \( (6; +\infty) \), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số \( y' \) không âm trên khoảng này. Tuy nhiên, vì chúng ta không sử dụng khái niệm đạo hàm, ta sẽ dựa vào tính chất của hàm số bậc hai. Hàm số \( f(x) = ax^2 + bx + c \) có đồ thị là Parabol, có thể xảy ra hai trường hợp: - Nếu \( a > 0 \), đồ thị Parabol mở lên, tức là có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. - Nếu \( a < 0 \), đồ thị Parabol mở xuống, tức là có điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. Trong trường hợp này, \( a = 1 \) (hệ số của \( x^2 \)), do đó đồ thị Parabol mở lên, nghĩa là hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của nó. Đỉnh của Parabol \( f(x) = ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} \). Áp dụng vào hàm số đã cho: \[ f(x) = x^2 + 2(b+6)x + 4 \] Ta có \( a = 1 \) và \( b = 2(b+6) \). Đỉnh của Parabol nằm tại: \[ x = -\frac{2(b+6)}{2 \cdot 1} = -(b+6) \] Để hàm số đồng biến trên khoảng \( (6; +\infty) \), đỉnh của Parabol phải nằm bên trái của khoảng này, tức là: \[ -(b+6) \leq 6 \] Giải bất phương trình này: \[ -(b+6) \leq 6 \] \[ -b - 6 \leq 6 \] \[ -b \leq 12 \] \[ b \geq -12 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~b > -12 \] Câu 19: Hàm số \( f(x) = -2x^2 + (m-1)x + 3 \) là một hàm bậc hai với hệ số \( a = -2 \). Để hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó \( f'(x) \) âm trên khoảng này. Tuy nhiên, theo yêu cầu của bài toán, chúng ta không sử dụng đạo hàm hoặc giới hạn. Thay vào đó, hãy sử dụng phương pháp đại số để giải quyết bài toán này. Ta sẽ tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = -4x + (m-1) \] Để hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \), ta cần: \[ f'(x) < 0 \quad \text{với mọi } x > 1 \] Do đó: \[ -4x + (m-1) < 0 \] \[ -4x < -(m-1) \] \[ 4x > m-1 \] \[ x > \frac{m-1}{4} \] Để bất đẳng thức này đúng với mọi \( x > 1 \), ta cần: \[ \frac{m-1}{4} \leq 1 \] \[ m-1 \leq 4 \] \[ m \leq 5 \] Vậy, các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( f(x) = -2x^2 + (m-1)x + 3 \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \) là: \[ m \leq 5 \] Đáp án đúng là: \[ C.~m \leq 5 \] Câu 20: Để xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số \( y = 2x^2 + 4x - 2025 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số này. Tuy nhiên, theo yêu cầu của nhiệm vụ, chúng ta không được sử dụng khái niệm đạo hàm. Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm đỉnh của parabol. Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có dạng tổng quát là \( \frac{a}{b} \). Phân số luôn luôn được biểu diễn bằng LaTeX như \( \frac{a}{b} \), tuyệt đối không được sử dụng a/b. Hàm số \( y = 2x^2 + 4x - 2025 \) là một hàm số bậc hai với hệ số \( a = 2 \) (dương), do đó đồ thị của nó là một parabol mở lên. Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong trường hợp này: \[ a = 2 \] \[ b = 4 \] Do đó, tọa độ \( x \) của đỉnh là: \[ x = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1 \] Vì \( a > 0 \), hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \) và đồng biến trên khoảng \( (-1; +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: D. Nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \) và đồng biến trên khoảng \( (-1; +\infty) \). Câu 21: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là nghịch biến trên khoảng $(-1, +\infty)$, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số này. A. $y = \sqrt{2}x^2 + 1$ - Đây là hàm số bậc hai với hệ số $a = \sqrt{2} > 0$. Hàm số này có dạng parabol mở lên, tức là đồ thị của nó có điểm cực đại hoặc điểm cao nhất nằm phía trên mặt đất. Do đó, hàm số này không thể nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-1, +\infty)$ vì nó sẽ tăng dần khi $x$ tiến đến $+\infty$. B. $y = -\sqrt{2}x^2 + 1$ - Đây cũng là hàm số bậc hai nhưng với hệ số $a = -\sqrt{2} < 0$. Hàm số này có dạng parabol mở xuống, tức là đồ thị của nó có điểm cực tiểu hoặc điểm thấp nhất nằm phía dưới mặt đất. Tuy nhiên, hàm số này sẽ giảm dần khi $x$ tiến đến $-\infty$, nhưng sẽ tăng dần khi $x$ tiến đến $+\infty$. Do đó, hàm số này không thể nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-1, +\infty)$. C. $y = \sqrt{2}(x+1)^2$ - Đây là hàm số bậc hai với hệ số $a = \sqrt{2} > 0$. Hàm số này có dạng parabol mở lên, tức là đồ thị của nó có điểm cực đại hoặc điểm cao nhất nằm phía trên mặt đất. Do đó, hàm số này không thể nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-1, +\infty)$ vì nó sẽ tăng dần khi $x$ tiến đến $+\infty$. D. $y = -\sqrt{2}(x+1)^2$ - Đây là hàm số bậc hai với hệ số $a = -\sqrt{2} < 0$. Hàm số này có dạng parabol mở xuống, tức là đồ thị của nó có điểm cực tiểu hoặc điểm thấp nhất nằm phía dưới mặt đất. Hàm số này sẽ giảm dần khi $x$ tiến đến $-\infty$, nhưng sẽ tăng dần khi $x$ tiến đến $+\infty$. Do đó, hàm số này không thể nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-1, +\infty)$. Tóm lại, trong các hàm số đã cho, không có hàm số nào thỏa mãn điều kiện nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-1, +\infty)$. Câu 22: Để hàm số \( y = -x^3 + 2(m-1)x + 3 \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số \( y' \) âm trên khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 2(m-1)x^2 + 3x) = -3x^2 + 2(2m+1)x + 3 \] Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \), ta cần \( y' < 0 \) trên khoảng này: \[ -3x^2 + 2(m-1) < 0 \] \[ -3x^2 + 2mx - 2 < 0 \] Bước 3: Xét dấu của \( y' \): \[ -3x^2 + 2mx - 2 < 0 \] \[ 3x^2 - 2mx + 2 > 0 \] Bước 4: Ta cần \( 3x^2 - 2mx + 2 > 0 \) trên khoảng \( (1; +\infty) \). Điều này xảy ra khi \( 3x^2 - 2mx + 2 \) luôn dương trên khoảng này. Bước 5: Xét giá trị của \( 3x^2 - 2mx + 2 \) tại \( x = 1 \): \[ 3(1)^2 - 2m(1) + 2 > 0 \] \[ 3 - 2m + 2 > 0 \] \[ 5 - 2m > 0 \] \[ 2m < 5 \] \[ m < \frac{5}{2} \] Bước 6: Kết luận: \[ m \leq 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~m \leq 2 \]