Giải hộ mình câu này với các bạn giải thích chi tiết

Câu 9: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ các khái niệm về vectơ. 1. Vectơ cùng độ dài: Hai vectơ có cùng độ dài khi độ dài của chúng bằng nhau. Nếu vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có cùng độ dài, thì \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). 2. Vectơ ngược hướng: Hai vectơ ngược hướng khi chúng có phương giống nhau nhưng hướng ngược lại. Điều này có nghĩa là nếu vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) ngược hướng, thì \(\vec{a} = -\vec{b}\). Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét từng lựa chọn: A. Hai vectơ cùng hướng: Điều này không đúng vì hai vectơ cùng hướng phải có cùng phương và cùng chiều, trong khi đề bài nói rằng hai vectơ ngược hướng. B. Hai vectơ cùng phương: Điều này có thể đúng vì hai vectơ ngược hướng cũng có cùng phương. Tuy nhiên, điều này không đủ để mô tả hoàn toàn mối quan hệ giữa hai vectơ trong đề bài. C. Hai vectơ đối nhau: Đây là lựa chọn đúng. Hai vectơ đối nhau là hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng. Điều này hoàn toàn phù hợp với mô tả trong đề bài. D. Hai vectơ bằng nhau: Điều này không đúng vì hai vectơ bằng nhau phải có cùng độ dài và cùng hướng, trong khi đề bài nói rằng hai vectơ ngược hướng. Vậy, đáp án đúng là C. Hai vectơ đối nhau. Câu 10: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định số lượng vectơ khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) mà có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện \(ABCD\). Tứ diện \(ABCD\) có 4 đỉnh: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). 1. Xác định số lượng cặp đỉnh: - Số lượng cặp đỉnh có thể chọn từ 4 đỉnh là tổ hợp chập 2 của 4, tức là: \[ \binom{4}{2} = 6 \] Điều này có nghĩa là có 6 cặp đỉnh khác nhau. 2. Xác định số lượng vectơ: - Mỗi cặp đỉnh \((X, Y)\) có thể tạo ra 2 vectơ khác nhau: \(\overrightarrow{XY}\) và \(\overrightarrow{YX}\). - Do đó, với 6 cặp đỉnh, ta có: \[ 6 \times 2 = 12 \] vectơ khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Vậy, có 12 vectơ khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) mà mỗi vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện \(ABCD\). Đáp án: A. 12. Câu 11: Để xác định phát biểu nào sai, chúng ta cần xem xét từng phát biểu một cách chi tiết: A. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương. - Hai vectơ được gọi là cùng hướng nếu chúng có cùng phương và cùng chiều. Do đó, nếu hai vectơ cùng hướng thì chắc chắn chúng cùng phương. - Phát biểu này đúng. B. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. - Độ dài của vectơ chính là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó. Đây là định nghĩa cơ bản về độ dài của vectơ. - Phát biểu này đúng. C. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng. - Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Ví dụ, vectơ \(\vec{a}\) và \(-\vec{a}\) cùng phương nhưng ngược hướng. - Phát biểu này sai. D. Vectơ là đoạn thẳng có hướng. - Vectơ được định nghĩa là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là nó có độ dài và hướng xác định. - Phát biểu này đúng. Tóm lại, phát biểu sai là phát biểu C: "Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng." Câu 12: Để xác định các cặp véc tơ cùng hướng, ta cần xem xét hướng của các véc tơ dựa trên vị trí của các điểm M, N, P trên đường thẳng. 1. Cặp véc tơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$: - Véc tơ $\overrightarrow{MN}$ có hướng từ M đến N. - Véc tơ $\overrightarrow{MP}$ có hướng từ M đến P. - Vì N nằm giữa M và P, nên hướng của $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là cùng hướng (cùng từ M đi về phía P). Kết luận: Cặp này cùng hướng. 2. Cặp véc tơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PN}$: - Véc tơ $\overrightarrow{MN}$ có hướng từ M đến N. - Véc tơ $\overrightarrow{PN}$ có hướng từ P đến N. - Vì N nằm giữa M và P, nên hướng của $\overrightarrow{MN}$ là từ trái sang phải (nếu M nằm bên trái P), còn $\overrightarrow{PN}$ là từ phải sang trái. Do đó, hai véc tơ này ngược hướng. Kết luận: Cặp này không cùng hướng. 3. Cặp véc tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{NP}$: - Véc tơ $\overrightarrow{NM}$ có hướng từ N đến M. - Véc tơ $\overrightarrow{NP}$ có hướng từ N đến P. - Vì N nằm giữa M và P, nên hướng của $\overrightarrow{NM}$ là từ phải sang trái (nếu M nằm bên trái P), còn $\overrightarrow{NP}$ là từ trái sang phải. Do đó, hai véc tơ này ngược hướng. Kết luận: Cặp này không cùng hướng. 4. Cặp véc tơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$: - Véc tơ $\overrightarrow{MP}$ có hướng từ M đến P. - Véc tơ $\overrightarrow{PN}$ có hướng từ P đến N. - Vì N nằm giữa M và P, nên hướng của $\overrightarrow{MP}$ là từ trái sang phải (nếu M nằm bên trái P), còn $\overrightarrow{PN}$ là từ phải sang trái. Do đó, hai véc tơ này ngược hướng. Kết luận: Cặp này không cùng hướng. Tóm lại, chỉ có cặp véc tơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là cùng hướng. Câu 14: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng vectơ khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm đã cho (B, C, D, E). Các điểm đã cho là A, B, C, D, E. Chúng ta cần tìm các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm B, C, D, E. - Nếu điểm cuối là B, ta có vectơ $\overrightarrow{AB}$. - Nếu điểm cuối là C, ta có vectơ $\overrightarrow{AC}$. - Nếu điểm cuối là D, ta có vectơ $\overrightarrow{AD}$. - Nếu điểm cuối là E, ta có vectơ $\overrightarrow{AE}$. Như vậy, chúng ta có 4 vectơ khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm đã cho. Do đó, đáp án đúng là: A. 4 Đáp số: 4 Câu 15: Để giải bài toán này, ta cần tìm các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác đều ABCDEF và tâm O sao cho bằng với \(\overrightarrow{AB}\). 1. Tính chất của lục giác đều: - Trong lục giác đều, các cạnh bằng nhau và các góc ở tâm bằng nhau. Mỗi góc ở tâm là \(60^\circ\). - Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có độ dài bằng cạnh của lục giác và hướng từ A đến B. 2. Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O: - Vectơ \(\overrightarrow{FO}\): Hướng từ F đến O. - Vectơ \(\overrightarrow{OC}\): Hướng từ O đến C. - Vectơ \(\overrightarrow{ED}\): Hướng từ E đến D. 3. So sánh với \(\overrightarrow{AB}\): - Vectơ \(\overrightarrow{FO}\): Hướng từ F đến O, tương đương với \(\overrightarrow{AB}\) khi quay một góc \(120^\circ\) ngược chiều kim đồng hồ. - Vectơ \(\overrightarrow{OC}\): Hướng từ O đến C, tương đương với \(\overrightarrow{AB}\) khi quay một góc \(180^\circ\) ngược chiều kim đồng hồ. - Vectơ \(\overrightarrow{ED}\): Hướng từ E đến D, tương đương với \(\overrightarrow{AB}\) khi quay một góc \(240^\circ\) ngược chiều kim đồng hồ. 4. Kết luận: - Các vectơ \(\overrightarrow{FO}\), \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{ED}\) đều có độ dài và hướng tương đương với \(\overrightarrow{AB}\) khi quay một góc nhất định. - Do đó, đáp án đúng là D. \(\overrightarrow{FO}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{ED}\). Câu 17: Để xác định các vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{MN}\), ta cần tìm hiểu về các vectơ trong tam giác và các tính chất của trung điểm. 1. Tính chất trung điểm: - M là trung điểm của AB, do đó \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\). - N là trung điểm của BC, do đó \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC}\). - P là trung điểm của CA, do đó \(\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{PA}\). 2. Vectơ \(\overrightarrow{MN}\): - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường trung bình nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh đó. - Do đó, \(\overrightarrow{MN}\) song song với \(\overrightarrow{AC}\). 3. Các vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{MN}\): - Vì \(\overrightarrow{MN}\) song song với \(\overrightarrow{AC}\), nên các vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{MN}\) cũng sẽ cùng phương với \(\overrightarrow{AC}\). - Các vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{AC}\) bao gồm: \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}\). - Ngoài ra, các vectơ \(\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PC}, \overrightarrow{CP}\) cũng cùng phương với \(\overrightarrow{AC}\) vì P là trung điểm của CA. 4. Kết luận: - Các vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{MN}\) là: \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{AP}, \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PC}, \overrightarrow{CP}\). Do đó, đáp án đúng là C: NM, AC, CA, AP, PA, PC, CP. Câu 21: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định số các véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác ABCD. 1. Xác định các đỉnh của tứ giác: Tứ giác ABCD có 4 đỉnh là A, B, C, D. 2. Xác định các véctơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác: - Mỗi véctơ được xác định bởi một cặp điểm (điểm đầu và điểm cuối). - Với 4 đỉnh, số cách chọn 2 đỉnh để tạo thành một véctơ là tổ hợp chập 2 của 4, tức là \( \binom{4}{2} = 6 \). 3. Loại trừ các véctơ-không: - Véctơ-không là véctơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. - Với 4 đỉnh, có 4 véctơ-không tương ứng với các cặp (A, A), (B, B), (C, C), (D, D). 4. Tính số véctơ khác véctơ-không: - Tổng số véctơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là \( 4 \times 4 = 16 \) (vì mỗi đỉnh có thể là điểm đầu và mỗi đỉnh có thể là điểm cuối). - Số véctơ-không là 4. - Số véctơ khác véctơ-không là \( 16 - 4 = 12 \). Vậy, số các véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là 12. Đáp án đúng là D. 12. Câu 23: Để xác định mệnh đề nào sai, ta cần phân tích từng mệnh đề dựa trên điều kiện $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. 1. Mệnh đề A: Tứ giác ABCD là hình bình hành. - Điều kiện để tứ giác là hình bình hành là hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Ở đây, chỉ có $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, không có thông tin về $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$. - Do đó, không đủ điều kiện để kết luận ABCD là hình bình hành. 2. Mệnh đề B: $DA = BC$. - Từ $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, ta có $AD = BC$. - Mệnh đề này đúng. 3. Mệnh đề C: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$. - Không có thông tin nào cho thấy $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng nhau. - Mệnh đề này không thể được suy ra từ điều kiện đã cho. 4. Mệnh đề D: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. - Không có thông tin nào cho thấy $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ bằng nhau. - Mệnh đề này không thể được suy ra từ điều kiện đã cho. Kết luận: - Mệnh đề A là sai vì không đủ điều kiện để kết luận ABCD là hình bình hành.