Giúp tôi bài này

Câu 61: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = -3x^2 + x - 2 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + x - 2) = -6x + 1 \] 2. Xét dấu của đạo hàm \( y' \): - Đặt \( y' = 0 \): \[ -6x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{6} \] - Ta có \( y' > 0 \) khi \( -6x + 1 > 0 \): \[ -6x + 1 > 0 \implies x < \frac{1}{6} \] - Ta có \( y' < 0 \) khi \( -6x + 1 < 0 \): \[ -6x + 1 < 0 \implies x > \frac{1}{6} \] 3. Kết luận: - Hàm số \( y = -3x^2 + x - 2 \) nghịch biến khi \( y' < 0 \), tức là khi \( x > \frac{1}{6} \). Do đó, hàm số \( y = -3x^2 + x - 2 \) nghịch biến trên khoảng \( (\frac{1}{6}; +\infty) \). Đáp án đúng là: \( A.~(\frac{1}{6}; +\infty) \). Câu 62: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = -x^2 + 6x - 1 \) đồng biến, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x - 1) = -2x + 6 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( y' \): \[ y' > 0 \] \[ -2x + 6 > 0 \] \[ -2x > -6 \] \[ x < 3 \] Bước 3: Kết luận: Hàm số \( y = -x^2 + 6x - 1 \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 3) \). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 3) \). Câu 83: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tập xác định của biểu thức \( f(x) = \sqrt{x - 3} + \sqrt{6 - x} \). 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của mỗi căn thức: - Điều kiện xác định của \( \sqrt{x - 3} \) là \( x - 3 \geq 0 \). Do đó: \[ x \geq 3 \] - Điều kiện xác định của \( \sqrt{6 - x} \) là \( 6 - x \geq 0 \). Do đó: \[ x \leq 6 \] 2. Kết hợp các điều kiện xác định: - Để cả hai căn thức đều xác định, \( x \) phải thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện: \[ x \geq 3 \quad \text{và} \quad x \leq 6 \] - Kết hợp lại, ta có: \[ 3 \leq x \leq 6 \] 3. Kết luận tập xác định: - Tập xác định của biểu thức \( f(x) = \sqrt{x - 3} + \sqrt{6 - x} \) là đoạn \([3, 6]\). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{[3, 6]} \] Câu 74: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + 2x + 3 \), chúng ta sẽ hoàn thành bình phương của biểu thức này. 1. Viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương: \[ y = x^2 + 2x + 3 \] Ta thêm và bớt 1 để có thể viết dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[ y = (x^2 + 2x + 1) + 2 \] 2. Biểu thức \( x^2 + 2x + 1 \) có thể viết lại thành \( (x + 1)^2 \): \[ y = (x + 1)^2 + 2 \] 3. Vì \( (x + 1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên giá trị nhỏ nhất của \( (x + 1)^2 \) là 0 khi \( x + 1 = 0 \). 4. Giải phương trình \( x + 1 = 0 \): \[ x = -1 \] 5. Thay \( x = -1 \) vào biểu thức \( y \): \[ y = (-1 + 1)^2 + 2 = 0 + 2 = 2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + 2x + 3 \) là 2, đạt được khi \( x = -1 \). Đáp án đúng là: \( B.~x = -1 \). Câu 75: Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -x^2 + 4x + 5 \), chúng ta sẽ hoàn thành bình phương (completing the square). Bước 1: Viết lại hàm số dưới dạng hoàn chỉnh bình phương: \[ y = -x^2 + 4x + 5 \] Bước 2: Tách phần \( -x^2 + 4x \): \[ y = -(x^2 - 4x) + 5 \] Bước 3: Hoàn thành bình phương trong ngoặc: \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \] Bước 4: Thay trở lại vào hàm số: \[ y = -[(x - 2)^2 - 4] + 5 \] \[ y = -(x - 2)^2 + 4 + 5 \] \[ y = -(x - 2)^2 + 9 \] Bây giờ, chúng ta đã viết hàm số dưới dạng: \[ y = -(x - 2)^2 + 9 \] Bước 5: Xác định giá trị lớn nhất của hàm số: - Biểu thức \( -(x - 2)^2 \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 vì bình phương của một số luôn không âm. - Do đó, giá trị lớn nhất của \( -(x - 2)^2 \) là 0, xảy ra khi \( x = 2 \). Bước 6: Thay \( x = 2 \) vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất: \[ y = -(2 - 2)^2 + 9 \] \[ y = 0 + 9 \] \[ y = 9 \] Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -x^2 + 4x + 5 \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Do đó, khẳng định đúng là: B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 9. Câu 76: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2x^2 + x - 3 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương (completing the square). Bước 1: Viết lại hàm số dưới dạng \( y = 2(x^2 + \frac{1}{2}x) - 3 \). Bước 2: Hoàn chỉnh bình phương trong ngoặc: \[ x^2 + \frac{1}{2}x = x^2 + \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{16}. \] Bước 3: Thay trở lại vào hàm số: \[ y = 2\left[\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{16}\right] - 3 = 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{2}{16} - 3 = 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{8} - 3. \] Bước 4: Đơn giản hóa: \[ y = 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{8} - 3 = 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{25}{8}. \] Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất: \[ 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 \geq 0 \quad \text{(vì bình phương luôn không âm)}. \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( y \) xảy ra khi \( 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 = 0 \), tức là \( x = -\frac{1}{4} \). Khi \( x = -\frac{1}{4} \): \[ y = 2\left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{25}{8} = 2(0) - \frac{25}{8} = -\frac{25}{8}. \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2x^2 + x - 3 \) là \( -\frac{25}{8} \). Đáp án đúng là: \( D.~\frac{-25}{8} \). Câu 77: Hàm số \( y = -3x^2 + x + 2 \) là một hàm số bậc hai với hệ số \( a = -3 \). Vì \( a < 0 \), đồ thị của hàm số này là một parabol mở xuống, do đó hàm số có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có hoành độ \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong trường hợp này: \[ a = -3, \quad b = 1 \] Hoành độ của đỉnh là: \[ x = -\frac{1}{2(-3)} = \frac{1}{6} \] Thay \( x = \frac{1}{6} \) vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất: \[ y = -3\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \frac{1}{6} + 2 \] \[ y = -3\left(\frac{1}{36}\right) + \frac{1}{6} + 2 \] \[ y = -\frac{3}{36} + \frac{1}{6} + 2 \] \[ y = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} + 2 \] \[ y = \frac{1}{12} + 2 \] \[ y = \frac{1}{12} + \frac{24}{12} \] \[ y = \frac{25}{12} \] Do đó, hàm số \( y = -3x^2 + x + 2 \) có giá trị lớn nhất bằng \( \frac{25}{12} \). Đáp án đúng là: A. Hàm số \( y = -3x^2 + x + 2 \) có giá trị lớn nhất bằng \( \frac{25}{12} \). Câu 78: Để tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số \( y = 2x^2 - 5x + 3 \) với trục Oy, ta cần xác định giá trị của \( y \) khi \( x = 0 \). Bước 1: Thay \( x = 0 \) vào phương trình của hàm số: \[ y = 2(0)^2 - 5(0) + 3 = 3 \] Bước 2: Tọa độ giao điểm của đồ thị với trục Oy là \( (0; y) \). Từ kết quả trên, ta có: \[ (0; 3) \] Vậy, tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là \( A.~(0;3) \). Do đó, đáp án đúng là \( A.~(0;3) \). Câu 79: Để tìm giao điểm của parabol \((P): y = x^2 - 3x + 2\) với đường thẳng \(y = x - 1\), ta cần giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x^2 - 3x + 2 \\ y = x - 1 \end{cases} \] Bằng cách thay \(y = x - 1\) vào phương trình của parabol, ta có: \[ x - 1 = x^2 - 3x + 2 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta được: \[ x^2 - 3x + 2 - x + 1 = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\), ta có: \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] Với \(x = 3\), thay vào phương trình \(y = x - 1\), ta có: \[ y = 3 - 1 = 2 \] Với \(x = 1\), thay vào phương trình \(y = x - 1\), ta có: \[ y = 1 - 1 = 0 \] Vậy, giao điểm của parabol và đường thẳng là \((1, 0)\) và \((3, 2)\). Do đó, đáp án đúng là: \(A.~(1;0);(3;2).\) Câu 80: Để tìm tọa độ giao điểm của parabol \((P): y = x^2 - 4x\) với đường thẳng \(d: y = -x - 2\), ta cần giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = x^2 - 4x \\ y = -x - 2 \end{cases} \] Bằng cách thay \(y\) từ phương trình của đường thẳng vào phương trình của parabol, ta có: \[ x^2 - 4x = -x - 2 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta được: \[ x^2 - 4x + x + 2 = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\), ta có: \[ b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] Vậy: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] Với \(x = 2\), thay vào phương trình của đường thẳng \(y = -x - 2\): \[ y = -2 - 2 = -4 \] Với \(x = 1\), thay vào phương trình của đường thẳng \(y = -x - 2\): \[ y = -1 - 2 = -3 \] Vậy tọa độ hai giao điểm là \(M(1; -3)\) và \(N(2; -4)\). Do đó, đáp án đúng là \(D.~M(1;-3),~N(2;-4).\) Câu 81: Để tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng \( y = 1 - x \) với parabol \( (P): y = x^2 - 2x + 1 \), ta cần giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 1 - x \\ y = x^2 - 2x + 1 \end{cases} \] Bước 1: Thay \( y = 1 - x \) vào phương trình \( y = x^2 - 2x + 1 \): \[ 1 - x = x^2 - 2x + 1 \] Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai: \[ 1 - x - (x^2 - 2x + 1) = 0 \] \[ 1 - x - x^2 + 2x - 1 = 0 \] \[ -x^2 + x = 0 \] Bước 3: Nhân cả hai vế với \(-1\) để đơn giản hóa: \[ x^2 - x = 0 \] Bước 4: Đặt \( x \) ra ngoài: \[ x(x - 1) = 0 \] Bước 5: Giải phương trình tích bằng cách giải từng phương trình con: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Vậy hoành độ giao điểm của đường thẳng \( y = 1 - x \) với parabol \( (P): y = x^2 - 2x + 1 \) là \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp án đúng là: \[ A.~x=0;x=1. \] Câu 82: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \( y = ax^2 + bx + c \), ta có các thông tin sau: 1. Dạng đồ thị: - Hàm số có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) là một parabol. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). Điều này cho thấy hệ số \( a > 0 \), tức là parabol có bề lõm hướng lên trên. 2. Giá trị cực tiểu: - Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất \( y = -3 \) tại \( x = -1 \). Đây là đỉnh của parabol. 3. Kết luận: - Với các thông tin trên, ta có thể kết luận rằng hàm số có dạng \( y = a(x + 1)^2 - 3 \) với \( a > 0 \). Vậy đáp án đúng là hàm số có giá trị nhỏ nhất là \(-3\) khi \( x = -1 \).