Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Ví dụ 1: Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán theo thứ tự a, b, c. a) Cho \(\sin a = \frac{1}{3}\) với \(90^\circ < a < 180^\circ\). Tính \(\cos a\). Vì \(90^\circ < a < 180^\circ\), góc \(a\) nằm ở góc phần tư thứ II. Trong góc phần tư này, \(\sin a > 0\) và \(\cos a < 0\). Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Thay \(\sin a = \frac{1}{3}\) vào công thức: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2 a = 1 \] \[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Do \(\cos a < 0\) trong góc phần tư thứ II, nên: \[ \cos a = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] b) Cho \(\cos a = \frac{2}{3}\). Tính \(\sin a\) và \(\cot a\). Vì không có thông tin về góc phần tư, ta chỉ tính \(\sin a\) và \(\cot a\) trong trường hợp tổng quát. Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Thay \(\cos a = \frac{2}{3}\) vào công thức: \[ \sin^2 a + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 a + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] Do không biết góc phần tư, ta có hai trường hợp: \[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] Tính \(\cot a\): \[ \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\frac{2}{3}}{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} \] c) Cho \(\tan a = y - 2\sqrt{2}\). Tính giá trị lượng giác còn lại. Vì không có thông tin cụ thể về giá trị của \(y\), ta chỉ có thể biểu diễn các giá trị lượng giác khác theo \(\tan a\). Sử dụng công thức: \[ \sin a = \frac{\tan a}{\sqrt{1 + \tan^2 a}} \] \[ \cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 a}} \] Thay \(\tan a = y - 2\sqrt{2}\) vào: \[ \sin a = \frac{y - 2\sqrt{2}}{\sqrt{1 + (y - 2\sqrt{2})^2}} \] \[ \cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + (y - 2\sqrt{2})^2}} \] Với các công thức trên, ta có thể tính được \(\sin a\) và \(\cos a\) khi biết giá trị cụ thể của \(y\). Ví dụ 2: Có vẻ như đề bài của bạn có một số lỗi đánh máy và không rõ ràng. Tuy nhiên, tôi sẽ cố gắng giải quyết từng phần của bài toán dựa trên những gì có thể hiểu được. Phần a) Cho \(\cos a = \frac{3}{4}\) với \(0^\circ < a < 90^\circ\). Biểu thức cần tính là: \[ A = \frac{10na + 304a}{10na + 604a} \] Tuy nhiên, không rõ "na" là gì trong biểu thức này. Nếu "na" là một ký hiệu đặc biệt hoặc một biến nào đó, bạn cần làm rõ. Nếu không, tôi sẽ giả định rằng "na" là một lỗi đánh máy và không có ý nghĩa cụ thể trong bài toán này. Nếu chỉ xét phần có thể tính toán được, giả sử "na" không tồn tại, thì biểu thức trở thành: \[ A = \frac{304a}{604a} = \frac{304}{604} = \frac{152}{302} = \frac{76}{151} \] Phần b) Cho \(\sin \alpha = \sqrt{2}\). Biểu thức cần tính là: \[ B = \frac{in'a + 3cm'a + 2cma}{in'a + 3cm'a + 2cma} \] Tương tự như phần a, các ký hiệu "in'a", "cm'a", "cma" không rõ ràng và có thể là lỗi đánh máy. Nếu chúng không có ý nghĩa cụ thể, thì biểu thức này sẽ đơn giản hóa thành: \[ B = \frac{x}{x} = 1 \] với \(x = in'a + 3cm'a + 2cma\). Kết luận Với những thông tin không rõ ràng và có thể là lỗi đánh máy, tôi đã cố gắng giải quyết bài toán dựa trên những gì có thể hiểu được. Nếu có thêm thông tin hoặc cần làm rõ, vui lòng cung cấp thêm chi tiết để tôi có thể hỗ trợ tốt hơn. Ví dụ 3: Có vẻ như đề bài của bạn có một số lỗi đánh máy. Tuy nhiên, tôi sẽ cố gắng giải thích và giải quyết bài toán dựa trên những gì có thể hiểu được từ đề bài. Giả sử chúng ta cần tính giá trị của biểu thức: \[ K = \frac{\sin^3 a + \sin^2 a + \cos^2 a + 2\sin^2 a - \cos a - 4\cos^2 a}{1} \] Trước tiên, chúng ta sẽ đơn giản hóa biểu thức trong tử số: 1. Nhóm các hạng tử có cùng dạng: \[ \sin^3 a + \sin^2 a + 2\sin^2 a = \sin^3 a + 3\sin^2 a \] \[ \cos^2 a - 4\cos^2 a = -3\cos^2 a \] 2. Biểu thức trở thành: \[ \sin^3 a + 3\sin^2 a - \cos a - 3\cos^2 a \] 3. Sử dụng đẳng thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), ta có: \[ 3\sin^2 a - 3\cos^2 a = 3(\sin^2 a - \cos^2 a) \] 4. Thay vào biểu thức: \[ \sin^3 a + 3(\sin^2 a - \cos^2 a) - \cos a \] 5. Biểu thức này không thể đơn giản hơn nữa mà không có thêm thông tin về góc \(a\). Do đó, giá trị của biểu thức \(K\) phụ thuộc vào giá trị cụ thể của góc \(a\). Nếu có thêm thông tin về \(a\), chúng ta có thể tính toán cụ thể hơn. Nếu không, đây là cách đơn giản hóa tối đa có thể thực hiện với thông tin hiện có. Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức cơ bản về lượng giác. Cho hai góc \( A \) và \( B \) với \( A + B = 90^\circ \). Theo định lý về góc phụ nhau trong lượng giác, ta có: \[ \sin A = \cos B \quad \text{và} \quad \cos A = \sin B \] Biểu thức cần tính là: \[ P = \sin A \cdot \cos A + \sin B \cdot \cos B \] Thay các giá trị lượng giác đã biết vào biểu thức \( P \): \[ P = \sin A \cdot \cos A + \sin B \cdot \cos B = \sin A \cdot \cos A + \cos A \cdot \sin A \] Ta nhận thấy rằng: \[ P = 2 \sin A \cdot \cos A \] Sử dụng công thức nhân đôi cho sin, ta có: \[ 2 \sin A \cdot \cos A = \sin 2A \] Vì \( A + B = 90^\circ \), nên \( 2A + 2B = 180^\circ \). Điều này có nghĩa là \( 2A = 180^\circ - 2B \). Do đó, \( \sin 2A = \sin (180^\circ - 2B) = \sin 2B \). Vì vậy, \( P = \sin 2A = \sin 2B \). Tuy nhiên, để tìm giá trị cụ thể của \( P \), ta cần biết thêm thông tin về góc \( A \) hoặc \( B \). Nhưng với thông tin hiện tại, ta chỉ có thể kết luận rằng: \[ P = \sin 2A = \sin 2B \] Vì không có thông tin cụ thể về giá trị của \( A \) hoặc \( B \), ta không thể xác định giá trị cụ thể của \( P \) từ các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu \( A = 45^\circ \) và \( B = 45^\circ \), thì: \[ P = \sin 90^\circ = 1 \] Do đó, đáp án đúng là \( B.~P=1 \). Câu 2: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \cos^2 \beta - \sin \beta \sin \alpha \), ta cần sử dụng một số tính chất của các góc và hàm lượng giác. 1. Sử dụng điều kiện của góc: Ta có \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Điều này có nghĩa là \(\alpha\) và \(\beta\) là hai góc phụ nhau. Do đó, ta có: \[ \sin \alpha = \cos \beta \quad \text{và} \quad \cos \alpha = \sin \beta \] 2. Thay vào biểu thức \( P \): Thay các giá trị trên vào biểu thức \( P \): \[ P = \cos^2 \beta - \sin \beta \sin \alpha = \cos^2 \beta - \sin \beta \cos \beta \] 3. Biến đổi biểu thức: Ta có thể nhóm các hạng tử lại: \[ P = \cos \beta (\cos \beta - \sin \beta) \] 4. Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác: Ta biết rằng \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\). Tuy nhiên, để đơn giản hóa biểu thức, ta không cần sử dụng hằng đẳng thức này mà chỉ cần tính giá trị của \( P \) với các giá trị cụ thể của \(\beta\). 5. Kiểm tra giá trị cụ thể: Giả sử \(\beta = 45^\circ\), khi đó \(\alpha = 45^\circ\). Ta có: \[ \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = 0 \] Vậy, giá trị của biểu thức \( P \) là \( 0 \). Do đó, đáp án đúng là \( A. P = 0 \). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các tính chất của các hàm lượng giác đối với góc tù. Góc tù là góc có giá trị lớn hơn \(90^\circ\) và nhỏ hơn \(180^\circ\). 1. Khẳng định A: \(\sin a < 0\). - Đối với góc tù \(a\), góc này nằm trong góc phần tư thứ II của đường tròn lượng giác. Trong góc phần tư thứ II, giá trị của \(\sin a\) là dương. Do đó, khẳng định \(\sin a < 0\) là sai. 2. Khẳng định B: \(\cos a > 0\). - Trong góc phần tư thứ II, giá trị của \(\cos a\) là âm. Do đó, khẳng định \(\cos a > 0\) là sai. 3. Khẳng định C: \(\tan a < 0\). - \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\). Trong góc phần tư thứ II, \(\sin a\) dương và \(\cos a\) âm, do đó \(\tan a\) sẽ âm. Vì vậy, khẳng định \(\tan a < 0\) là đúng. 4. Khẳng định D: \(\cot a > 0\). - \(\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}\). Trong góc phần tư thứ II, \(\cos a\) âm và \(\sin a\) dương, do đó \(\cot a\) sẽ âm. Vì vậy, khẳng định \(\cot a > 0\) là sai. Tóm lại, khẳng định đúng là khẳng định C: \(\tan a < 0\). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định một cách cẩn thận. Trước tiên, ta cần nhớ rằng với hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) trong tam giác vuông, các giá trị của hàm số lượng giác như sin và cos đều nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Khẳng định A: \(\cos \alpha < \cos \beta\) - Vì \(\alpha < \beta\) và cả hai góc đều là góc nhọn, nên \(\cos \alpha > \cos \beta\). Điều này là do hàm số cos giảm dần trong khoảng từ 0 đến \(\frac{\pi}{2}\) (tương ứng với 0 đến 90 độ). Do đó, khẳng định A là sai. Khẳng định B: \(\sin \alpha < \sin \beta\) - Vì \(\alpha < \beta\) và cả hai góc đều là góc nhọn, nên \(\sin \alpha < \sin \beta\). Điều này là do hàm số sin tăng dần trong khoảng từ 0 đến \(\frac{\pi}{2}\). Do đó, khẳng định B là đúng. Khẳng định C: \(\cos \alpha > \cos \beta\) - Như đã phân tích ở khẳng định A, \(\cos \alpha > \cos \beta\) là đúng. Do đó, khẳng định C là đúng. Khẳng định D: \(m.\alpha + m.\beta > 0\) - Vì \(\alpha\) và \(\beta\) đều là góc nhọn, nên \(m.\alpha > 0\) và \(m.\beta > 0\). Tổng của hai số dương luôn lớn hơn 0. Do đó, khẳng định D là đúng. Tóm lại, khẳng định sai là khẳng định A: \(\cos \alpha < \cos \beta\). Câu 5: Để xác định khẳng định nào sai, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định một cách cẩn thận. A. \( \cos 5^0 > \cos 50^0 \) - Ta biết rằng hàm số cosin là hàm giảm trên khoảng từ \(0^0\) đến \(90^0\). Do đó, nếu \(5^0 < 50^0\) thì \(\cos 5^0 > \cos 50^0\). - Khẳng định này đúng. B. \( \sin 80^0 > \sin 50^0 \) - Hàm số sin là hàm tăng trên khoảng từ \(0^0\) đến \(90^0\). Do đó, nếu \(80^0 > 50^0\) thì \(\sin 80^0 > \sin 50^0\). - Khẳng định này đúng. C. \( \tan 45^0 = 0 \) - Ta biết rằng \(\tan 45^0 = 1\), không phải là 0. - Khẳng định này sai. D. \( \cos 30^0 = \sin 60^0 \) - Ta có \(\cos 30^0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(\sin 60^0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\). - Do đó, \(\cos 30^0 = \sin 60^0\). - Khẳng định này đúng. Vậy, khẳng định sai là C. \( \tan 45^0 = 0 \). Câu 6: Để xác định khẳng định nào đúng, ta cần phân tích từng khẳng định một cách cẩn thận. Khẳng định A: \(\sin 90^\circ < \sin 100^\circ\) - Ta biết rằng \(\sin 90^\circ = 1\). - Đối với \(\sin 100^\circ\), ta có thể sử dụng tính chất của hàm số sin: \(\sin (180^\circ - x) = \sin x\). Do đó, \(\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ\). - Vì \(80^\circ < 90^\circ\), nên \(\sin 80^\circ < \sin 90^\circ\). - Vậy \(\sin 90^\circ > \sin 100^\circ\). Khẳng định A là sai. Khẳng định B: \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\) - Ta biết rằng hàm số cos giảm trên khoảng \((0^\circ, 180^\circ)\). - Vì \(95^\circ < 100^\circ\), nên \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\). Khẳng định B là đúng. Khẳng định C: \(\sin^2 < \sin 125\) - Khẳng định này không rõ ràng vì không có giá trị cụ thể cho \(\sin^2\). Có thể đây là lỗi đánh máy hoặc ký hiệu không chính xác. Khẳng định C không thể xác định do không rõ ràng. Khẳng định D: \(\cos 45^\circ > \cos 25^\circ\) - Ta biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). - Vì hàm số cos giảm trên khoảng \((0^\circ, 180^\circ)\) và \(25^\circ < 45^\circ\), nên \(\cos 45^\circ < \cos 25^\circ\). Khẳng định D là sai. Tóm lại, khẳng định đúng là \(\textcircled{B)}~\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\). Câu 7: Để xác định khẳng định nào đúng, chúng ta cần tính giá trị của các hàm số lượng giác tại các góc đã cho. Chúng ta sẽ xét từng khẳng định một: A. \(\sin 90^\circ < \sin 150^\circ\) - \(\sin 90^\circ = 1\) - \(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) So sánh: \(1 > \frac{1}{2}\), do đó \(\sin 90^\circ > \sin 150^\circ\). Khẳng định A là sai. B. \(sia~9015 < sia~9030^0\) Khẳng định này có vẻ như có lỗi đánh máy và không rõ ràng, nên không thể xác định đúng hay sai. C. \(cm~90^3~Y^2 > \cos 100^\circ\) Khẳng định này cũng có lỗi đánh máy và không rõ ràng, nên không thể xác định đúng hay sai. D. \(\cos 150^\circ > \cos 120^\circ\) - \(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\cos 120^\circ = \cos (180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\) So sánh: \(-\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{1}{2}\), do đó \(\cos 150^\circ < \cos 120^\circ\). Khẳng định D là sai. Kết luận: Không có khẳng định nào trong số A, B, C, D là đúng. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng lựa chọn và xem xét xem lựa chọn nào có thể được suy ra từ hệ thức đã cho: \( \cos^2 a - \sin^2 a = 17 \). Trước tiên, ta cần nhớ rằng: \[ \cos^2 a - \sin^2 a = \cos 2a \] Do đó, hệ thức đã cho có thể được viết lại thành: \[ \cos 2a = 17 \] Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì giá trị của \(\cos 2a\) phải nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần thêm thông tin để giải quyết bài toán này. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể phân tích từng lựa chọn để xem xét tính hợp lý của chúng: A. \(\cos\frac{a}{2} + \sin\frac{a}{2} - \frac{1}{2}\) - Không có thông tin nào từ \(\cos^2 a - \sin^2 a = 17\) có thể trực tiếp suy ra biểu thức này. B. \(\cos^2\frac{a}{3} + \sin^2\frac{a}{3} = \frac{1}{3}\) - Theo định lý Pythagore, \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) cho mọi giá trị của \(x\). Do đó, biểu thức này không thể đúng. C. \(\cos^2\frac{a}{4} + \sin\frac{a}{4} = \frac{1}{4}\) - Tương tự, không có thông tin nào từ \(\cos^2 a - \sin^2 a = 17\) có thể trực tiếp suy ra biểu thức này. D. \(5(\cos^2\frac{a}{5} + \sin^2\frac{a}{5}) - 5\) - Theo định lý Pythagore, \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) cho mọi giá trị của \(x\). Do đó, \(5(\cos^2\frac{a}{5} + \sin^2\frac{a}{5}) = 5\), và biểu thức này trở thành \(5 - 5 = 0\). Kết luận: Không có lựa chọn nào có thể được suy ra từ hệ thức đã cho một cách hợp lý. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần thêm thông tin để giải quyết bài toán này. Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( \frac{a}{3} - \frac{3}{5} \). 2. Biểu diễn \( P \) dưới dạng \( 3 \sin \left( \frac{a}{3} \right) + 5 \cos \left( \frac{a}{3} \right) \). Bước 1: Tìm giá trị của \( \frac{a}{3} - \frac{3}{5} \) Giả sử \( \frac{a}{3} - \frac{3}{5} = k \). Ta có: \[ \frac{a}{3} = k + \frac{3}{5} \] Bước 2: Biểu diễn \( P \) dưới dạng \( 3 \sin \left( \frac{a}{3} \right) + 5 \cos \left( \frac{a}{3} \right) \) Ta có: \[ P = 3 \sin \left( \frac{a}{3} \right) + 5 \cos \left( \frac{a}{3} \right) \] Thay \( \frac{a}{3} = k + \frac{3}{5} \) vào biểu thức trên: \[ P = 3 \sin \left( k + \frac{3}{5} \right) + 5 \cos \left( k + \frac{3}{5} \right) \] Do \( k \) là một hằng số, ta có thể viết lại biểu thức trên thành: \[ P = 3 \sin \left( k + \frac{3}{5} \right) + 5 \cos \left( k + \frac{3}{5} \right) \] Vậy giá trị của \( P \) là: \[ P = 3 \sin \left( k + \frac{3}{5} \right) + 5 \cos \left( k + \frac{3}{5} \right) \] Đáp số: \( P = 3 \sin \left( k + \frac{3}{5} \right) + 5 \cos \left( k + \frac{3}{5} \right) \)