với các số thực x,y,z thỏa mãn 0 lớn hơn hoặc bằng x,y,z bé hơn hoặc bằng 2 và x+y+z=3. tìm gtln của biểu thức q=x^2=y^2+z^2

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \( Q = x^2 + y^2 + z^2 \) với các số thực \( x, y, z \) thỏa mãn \( 0 \leq x, y, z \leq 2 \) và \( x + y + z = 3 \), chúng ta sẽ tiến hành như sau: Bước 1: Xác định miền giá trị của \( x, y, z \) - Vì \( 0 \leq x, y, z \leq 2 \) nên mỗi biến có thể nhận giá trị từ 0 đến 2. Bước 2: Sử dụng điều kiện \( x + y + z = 3 \) - Ta thấy rằng tổng của ba biến \( x, y, z \) phải bằng 3. Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của \( Q = x^2 + y^2 + z^2 \) - Để \( Q \) đạt giá trị lớn nhất, ta cần làm cho \( x^2, y^2, z^2 \) càng lớn càng tốt. - Vì \( x, y, z \) đều nằm trong khoảng từ 0 đến 2, nên \( x^2, y^2, z^2 \) cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 4. Bước 4: Kiểm tra các trường hợp cụ thể - Giả sử \( x = 2 \), \( y = 1 \), \( z = 0 \): - \( x + y + z = 2 + 1 + 0 = 3 \) (thỏa mãn điều kiện) - \( Q = 2^2 + 1^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5 \) - Giả sử \( x = 2 \), \( y = 0 \), \( z = 1 \): - \( x + y + z = 2 + 0 + 1 = 3 \) (thỏa mãn điều kiện) - \( Q = 2^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 0 + 1 = 5 \) - Giả sử \( x = 1 \), \( y = 2 \), \( z = 0 \): - \( x + y + z = 1 + 2 + 0 = 3 \) (thỏa mãn điều kiện) - \( Q = 1^2 + 2^2 + 0^2 = 1 + 4 + 0 = 5 \) - Giả sử \( x = 1 \), \( y = 0 \), \( z = 2 \): - \( x + y + z = 1 + 0 + 2 = 3 \) (thỏa mãn điều kiện) - \( Q = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 1 + 0 + 4 = 5 \) - Giả sử \( x = 0 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \): - \( x + y + z = 0 + 2 + 1 = 3 \) (thỏa mãn điều kiện) - \( Q = 0^2 + 2^2 + 1^2 = 0 + 4 + 1 = 5 \) - Giả sử \( x = 0 \), \( y = 1 \), \( z = 2 \): - \( x + y + z = 0 + 1 + 2 = 3 \) (thỏa mãn điều kiện) - \( Q = 0^2 + 1^2 + 2^2 = 0 + 1 + 4 = 5 \) Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của \( Q \) là 5. Vậy giá trị lớn nhất của \( Q \) là 5, đạt được khi một trong các biến \( x, y, z \) bằng 2, một biến khác bằng 1, và biến còn lại bằng 0.