Giai giup toi

Câu 1: Để xác định hàm số nào có bảng biến thiên như đã cho, ta cần phân tích từng hàm số dựa trên bảng biến thiên. Phân tích bảng biến thiên: 1. Tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \): - Đạo hàm \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = -1 \) và từ dương sang âm tại \( x = 1 \). Điều này cho thấy \( x = -1 \) là điểm cực tiểu và \( x = 1 \) là điểm cực đại. 2. Giá trị cực tiểu và cực đại: - Giá trị cực tiểu tại \( x = -1 \) là \(-2\). - Giá trị cực đại tại \( x = 1 \) là \(2\). Phân tích từng hàm số: A. \( y = -\frac{\pi}{2} \): - Đây là hàm hằng, không có cực trị. Không phù hợp. B. \( y = 3 - x^4 \): - Đạo hàm: \( y' = -4x^3 \). - \( y' = 0 \) khi \( x = 0 \). Không có cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Không phù hợp. C. \( y = -x^3 + 3x \): - Đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \). - \( y' = 0 \) khi \( -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). - Tại \( x = -1 \), \( y = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 \). - Tại \( x = 1 \), \( y = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2 \). - Phù hợp với bảng biến thiên. D. \( y = -x^3 + 6x + 4 \): - Đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 6 \). - \( y' = 0 \) khi \( -3x^2 + 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \). - Không có cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Không phù hợp. Kết luận: Hàm số \( y = -x^3 + 3x \) (C) có bảng biến thiên phù hợp với bảng đã cho. Câu 2: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 + 3x^2 - 9x - 4 \) trên đoạn \([-5; 2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 + 6x - 9 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = -3 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([-5; 2]\): - Tại \( x = -5 \): \[ y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 9(-5) - 4 = -125 + 75 + 45 - 4 = -9 \] - Tại \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 4 = -27 + 27 + 27 - 4 = 23 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 4 = 1 + 3 - 9 - 4 = -9 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 + 3(2)^2 - 9(2) - 4 = 8 + 12 - 18 - 4 = -2 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: \[ y(-5) = -9, \quad y(-3) = 23, \quad y(1) = -9, \quad y(2) = -2 \] Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là \(-9\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 + 3x^2 - 9x - 4 \) trên đoạn \([-5; 2]\) là \(-9\). Đáp án đúng là: \( C. m = -9 \). Câu 3: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{15x^2 - 21x - 3}{4x - 7} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phân thức xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( 4x - 7 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq \frac{7}{4} \). 2. Tìm đường tiệm cận xiên: Đường tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \). Để tìm \( a \) và \( b \), ta thực hiện phép chia đa thức: - Chia tử số \( 15x^2 - 21x - 3 \) cho mẫu số \( 4x - 7 \). Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|l} 15x^2 - 21x - 3 & 4x - 7 \\ \hline 3x & \\ \end{array} \] - Lấy \( 15x^2 \) chia cho \( 4x \), ta được \( 3x \). - Nhân \( 3x \) với \( 4x - 7 \), ta được \( 12x^2 - 21x \). - Trừ đi, ta có dư là \( 3x - 3 \). Tiếp tục chia: \[ \begin{array}{r|l} 3x - 3 & 4x - 7 \\ \hline +\frac{3}{4} & \\ \end{array} \] - Lấy \( 3x \) chia cho \( 4x \), ta được \( \frac{3}{4} \). - Nhân \( \frac{3}{4} \) với \( 4x - 7 \), ta được \( 3x - \frac{21}{4} \). - Trừ đi, ta có dư là \( \frac{9}{4} \). Vậy, kết quả của phép chia là: \[ y = 3x + \frac{3}{4} + \frac{\frac{9}{4}}{4x - 7} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), thành phần \( \frac{\frac{9}{4}}{4x - 7} \to 0 \). Do đó, đường tiệm cận xiên là \( y = 3x + \frac{3}{4} \). 3. Kết luận: Đáp án đúng là không có trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu chỉ xét phần nguyên của hệ số \( b \), thì gần nhất với đáp án \( y = 3x \) (đáp án C). Vậy, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \( y = 3x + \frac{3}{4} \). Câu 4: Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{4x-3}{4x-2y} \), ta cần xác định điều kiện mà mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số. Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ 4x - 2y \neq 0. \] Bước 2: Tìm điều kiện để có đường tiệm cận đứng. Để có đường tiệm cận đứng, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Giả sử \( 4x - 2y = 0 \), ta có: \[ 2y = 4x \] \[ y = 2x. \] Thay \( y = 2x \) vào biểu thức của hàm số: \[ y = \frac{4x-3}{4x-2(2x)} = \frac{4x-3}{4x-4x} = \frac{4x-3}{0}. \] Để có đường tiệm cận đứng, tử số phải khác 0, tức là: \[ 4x - 3 \neq 0 \] \[ 4x \neq 3 \] \[ x \neq \frac{3}{4}. \] Tuy nhiên, để tìm đường tiệm cận đứng, ta cần tìm giá trị của \( x \) mà mẫu số bằng 0. Từ phương trình \( y = 2x \), ta thấy rằng không có giá trị cụ thể của \( x \) mà mẫu số bằng 0 và tử số khác 0, vì điều kiện này không thỏa mãn cho bất kỳ giá trị cụ thể nào của \( x \). Do đó, hàm số không có đường tiệm cận đứng. Kết luận: Không có đáp án nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Câu 5: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = \frac{2x^2 - 2x + 10}{-2x + 10} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = \frac{2x^2 - 2x + 10}{-2x + 10} \) là một hàm số phân thức. Để tìm đạo hàm, chúng ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm số phân thức: \[ y' = \frac{(2x^2 - 2x + 10)'(-2x + 10) - (2x^2 - 2x + 10)(-2x + 10)'}{(-2x + 10)^2} \] 2. Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: - Đạo hàm của tử số \( 2x^2 - 2x + 10 \): \[ (2x^2 - 2x + 10)' = 4x - 2 \] - Đạo hàm của mẫu số \( -2x + 10 \): \[ (-2x + 10)' = -2 \] 3. Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{(4x - 2)(-2x + 10) - (2x^2 - 2x + 10)(-2)}{(-2x + 10)^2} \] 4. Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{(4x - 2)(-2x + 10) + 2(2x^2 - 2x + 10)}{(-2x + 10)^2} \] \[ y' = \frac{-8x^2 + 40x + 4x - 20 + 4x^2 - 4x + 20}{(-2x + 10)^2} \] \[ y' = \frac{-4x^2 + 40x}{(-2x + 10)^2} \] \[ y' = \frac{-4x(x - 10)}{(-2x + 10)^2} \] 5. Tìm điểm dừng: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{-4x(x - 10)}{(-2x + 10)^2} = 0 \] \[ -4x(x - 10) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 10 \] 6. Kiểm tra giá trị tại các điểm dừng và giới hạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y = \frac{2(0)^2 - 2(0) + 10}{-2(0) + 10} = \frac{10}{10} = 1 \] - Tại \( x = 10 \): \[ y = \frac{2(10)^2 - 2(10) + 10}{-2(10) + 10} = \frac{200 - 20 + 10}{-20 + 10} = \frac{190}{-10} = -19 \] 7. So sánh giá trị tại các điểm dừng: - Giá trị tại \( x = 0 \) là 1. - Giá trị tại \( x = 10 \) là -19. Do đó, giá trị cực đại của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 0 \). Đáp án: B. 4. Câu 6: Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{4x^2 + x}{-2x - 5} \), ta cần xác định dạng của hàm số. Hàm số này là một hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, có dạng: \[ y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \] Trong đó, \( a = 4 \), \( b = 1 \), \( c = 0 \), \( d = -2 \), \( e = -5 \). Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số này, ta cần tìm điểm \( I(x_0, y_0) \) sao cho đồ thị đối xứng qua điểm này. Công thức xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} \] Với \( a = 4 \) và \( b = 1 \), ta có: \[ x_0 = -\frac{1}{2 \times 4} = -\frac{1}{8} \] Tuy nhiên, công thức trên chỉ áp dụng cho hàm bậc hai, không áp dụng trực tiếp cho hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất. Do đó, ta cần sử dụng phương pháp khác để tìm tâm đối xứng. Một cách khác là tìm nghiệm của phương trình tử số và mẫu số để xác định các điểm đặc biệt, sau đó tìm tâm đối xứng dựa trên các điểm này. Tuy nhiên, cách này phức tạp và không cần thiết trong trường hợp này. Thay vào đó, ta có thể sử dụng phương pháp tìm điểm đối xứng bằng cách xác định điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc sử dụng các điểm đã cho để kiểm tra. Thay các điểm đã cho vào hàm số để kiểm tra xem điểm nào là tâm đối xứng: 1. Điểm \( A \left(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right) \) 2. Điểm \( B \left(-4, \frac{19}{2}\right) \) 3. Điểm \( C \left(\frac{5}{2}, -\frac{11}{4}\right) \) 4. Điểm \( D \left(-\frac{5}{2}, \frac{19}{2}\right) \) Thay điểm \( A \left(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right) \) vào hàm số: \[ y = \frac{4\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)}{-2\left(-\frac{5}{2}\right) - 5} \] Tính toán: \[ y = \frac{4 \times \frac{25}{4} - \frac{5}{2}}{5 - 5} = \frac{25 - \frac{5}{2}}{0} \] Điểm này không xác định vì mẫu số bằng 0. Thay điểm \( B \left(-4, \frac{19}{2}\right) \) vào hàm số: \[ y = \frac{4(-4)^2 + (-4)}{-2(-4) - 5} \] Tính toán: \[ y = \frac{4 \times 16 - 4}{8 - 5} = \frac{64 - 4}{3} = \frac{60}{3} = 20 \] Điểm này không khớp với \( y = \frac{19}{2} \). Thay điểm \( C \left(\frac{5}{2}, -\frac{11}{4}\right) \) vào hàm số: \[ y = \frac{4\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}}{-2\left(\frac{5}{2}\right) - 5} \] Tính toán: \[ y = \frac{4 \times \frac{25}{4} + \frac{5}{2}}{-5 - 5} = \frac{25 + \frac{5}{2}}{-10} = \frac{25 + 2.5}{-10} = \frac{27.5}{-10} = -\frac{11}{4} \] Điểm này khớp với \( y = -\frac{11}{4} \). Vậy, điểm \( C \left(\frac{5}{2}, -\frac{11}{4}\right) \) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Do đó, đáp án đúng là \( C \). Câu 7: Để tìm điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2}{3} + x^2 - 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{3} + x^2 - 1\right) \] Ta có: \[ f'(x) = \frac{2x}{3} + 2x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ \frac{2x}{3} + 2x = 0 \] Gộp các hạng tử: \[ \frac{2x}{3} + \frac{6x}{3} = 0 \] \[ \frac{8x}{3} = 0 \] Giải phương trình: \[ 8x = 0 \] \[ x = 0 \] 3. Kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) để xác định tính chất của điểm dừng: - Xét khoảng bên trái \( x = 0 \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = \frac{2(-1)}{3} + 2(-1) = -\frac{2}{3} - 2 = -\frac{8}{3} < 0 \] - Xét khoảng bên phải \( x = 0 \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = \frac{2(1)}{3} + 2(1) = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} > 0 \] Vì đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 0 \), nên \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. 4. Kết luận: Hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2}{3} + x^2 - 1 \) không có điểm cực đại trong các lựa chọn đã cho. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x=0. \] Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-5; 1]\) dựa vào đồ thị. 1. Xác định giá trị lớn nhất (M): - Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \( x = -2 \) với \( y = 2 \). - Vậy, \( M = 2 \). 2. Xác định giá trị nhỏ nhất (m): - Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \( x = 1 \) với \( y = -1 \). - Vậy, \( m = -1 \). 3. Tính \( 2M - m \): - Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức: \[ 2M - m = 2 \times 2 - (-1) = 4 + 1 = 5 \] Vậy, đáp án là 5. Tuy nhiên, không có đáp án nào khớp với kết quả này trong các lựa chọn A, B, C, D. Có thể có sai sót trong việc đọc đồ thị hoặc đề bài. Câu 1: a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ Hàm số $y=\frac{-2x^2-x-3}{x-1}$ là một phân thức hữu tỉ, do đó để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ x - 1 \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Khẳng định này là đúng. b) Đạo hàm của hàm số là $y'=\frac{2x^2-4x+6}{(-x-1)^2}.$ Ta sẽ tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{-2x^2 - x - 3}{x - 1}$ bằng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y = \frac{u}{v} \implies y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: \[ u = -2x^2 - x - 3 \] \[ v = x - 1 \] Tính đạo hàm của $u$ và $v$: \[ u' = -4x - 1 \] \[ v' = 1 \] Áp dụng công thức: \[ y' = \frac{(-4x - 1)(x - 1) - (-2x^2 - x - 3)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(-4x^2 + 4x - x + 1) - (-2x^2 - x - 3)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-4x^2 + 3x + 1 + 2x^2 + x + 3}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 + 4x + 4}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2(x^2 - 2x - 2)}{(x - 1)^2} \] So sánh với khẳng định ban đầu: \[ y' = \frac{2x^2 - 4x + 6}{(-x - 1)^2} \] Nhận thấy rằng: \[ -2(x^2 - 2x - 2) \neq 2x^2 - 4x + 6 \] Do đó, khẳng định này là sai. c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = -1.$ Tiệm cận đứng của hàm số xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là: \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng: \[ x = 1 \] Khẳng định này là sai. d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $I(-1; -3).$ Để kiểm tra tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta cần kiểm tra tính chất đối xứng của hàm số quanh điểm $I(-1; -3)$. Hàm số $y = \frac{-2x^2 - x - 3}{x - 1}$ không phải là hàm chẵn hoặc lẻ, và không có tính chất đối xứng quanh điểm $I(-1; -3)$. Do đó, khẳng định này là sai. Tóm lại: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai