Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $A=\frac{x+1}{x^2+x+1}$.

Question

Accepted Answer

Ta có:
$$ A = \frac{x+1}{x^2+x+1}. $$

Nhận thấy rằng $ x^2 + x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $.

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức $ A $ dưới dạng:
$$ A = \frac{x+1}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}}. $$

Bây giờ, ta sẽ tìm GTLN và GTNN của $ A $.

Tìm GTLN của $ A $

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $ (1, 1) $ và $ (x+1, 1) $:
$$ (1^2 + 1^2)( (x+1)^2 + 1^2 ) \geq (1 \cdot (x+1) + 1 \cdot 1)^2. $$
$$ 2 \left( (x+1)^2 + 1 \right) \geq (x+2)^2. $$
$$ 2(x^2 + 2x + 1 + 1) \geq x^2 + 4x + 4. $$
$$ 2x^2 + 4x + 4 \geq x^2 + 4x + 4. $$
$$ x^2 \geq 0. $$

Dấu bằng xảy ra khi $ x = 0 $.

Khi $ x = 0 $:
$$ A = \frac{0+1}{0^2+0+1} = 1. $$

Vậy GTLN của $ A $ là 1, đạt được khi $ x = 0 $.

Tìm GTNN của $ A $

Xét $ A $ khi $ x \to -\infty $ hoặc $ x \to \infty $:
$$ A = \frac{x+1}{x^2+x+1} \approx \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0. $$

Do đó, $ A $ tiến tới 0 khi $ x \to -\infty $ hoặc $ x \to \infty $.

Vậy GTNN của $ A $ là 0, nhưng không đạt được tại bất kỳ giá trị nào của $ x $.

Kết luận

- Giá trị lớn nhất của $ A $ là 1, đạt được khi $ x = 0 $.
- Giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 0, nhưng không đạt được tại bất kỳ giá trị nào của $ x $.