giúp mình câu c

Bài 28: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Chứng minh: \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\) - Xét tam giác \(AHM\) và \(AHN\), ta có: - \(\angle AHM = \angle AHN = 90^\circ\) (do \(M\) và \(N\) là hình chiếu vuông góc của \(H\) lên \(AB\) và \(AC\)). - \(\angle HAM = \angle HAN\) (cùng là góc \(\angle H\) trong tam giác \(AHM\) và \(AHN\)). - Do đó, hai tam giác \(AHM\) và \(AHN\) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA). - Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: \[ \frac{AM}{AN} = \frac{AB}{AC} \] - Suy ra: \(AM \cdot AC = AN \cdot AB\). b) Chứng minh: \(\Delta ANM \sim \Delta ABC\) - Xét tam giác \(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\), ta có: - \(\angle ANM = \angle ABC\) (cùng phụ với \(\angle AMN\) và \(\angle ACB\) do \(M\) và \(N\) là hình chiếu vuông góc). - \(\angle AMN = \angle ACB\) (cùng phụ với \(\angle ANM\) và \(\angle ABC\)). - Do đó, hai tam giác \(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA). c) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}\) - Diện tích tam giác \(AMN\) là \(S_1\) và diện tích tam giác \(ABC\) là \(S_2\). - Từ phần b, ta có \(\Delta ANM \sim \Delta ABC\), do đó: \[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AM}{AB}\right)^2 \] - Biểu thức cần tìm là: \[ T = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} = \frac{AM}{AB} \] - Từ điều kiện \(\sin B + 2\sin C = \frac{9}{5}\), ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{AM}{AB}\). - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \(\sin B\) và \(\sin C\): \[ (\sin B + 2\sin C)^2 \leq (1^2 + 2^2)(\sin^2 B + \sin^2 C) \] - Thay vào điều kiện: \[ \left(\frac{9}{5}\right)^2 \leq 5(\sin^2 B + \sin^2 C) \] - Giải bất đẳng thức trên, ta tìm được: \[ \sin^2 B + \sin^2 C \geq \frac{81}{125} \] - Do đó, giá trị lớn nhất của \(\frac{AM}{AB}\) là \(\sqrt{\frac{81}{125}} = \frac{9}{5\sqrt{5}}\). Vậy, giá trị lớn nhất của \(T\) là \(\frac{9}{5\sqrt{5}}\).