Cho số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $x^2+2y^2+2xy-2\left(x+2y\right)+1=0$. Tính giá trị biểu thức: $S=2016x^{2017}+2017y^{2016}$.

Ta có: $x^2+2y^2+2xy-2\left(x+2y\right)+1=0$ $\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+y^2-2x-4y+1=0$ $\Leftrightarrow \left(x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2-2\left(x+y\right)=0$ $\Leftrightarrow \left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\right]+\left(y-1\right)^2-1=0$ $\Leftrightarrow \left(x+y-1\right)^2+\left(y-1\right)^2-1=0$ $\Leftrightarrow \left(x+y-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1$ Vì x, y là các số nguyên dương nên ta có các trường hợp sau: $TH1:\begin{cases}x+y-1=1\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=1\\x=1\end{cases}$ $TH2:\begin{cases}x+y-1=0\\y-1=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=2\\x=-1\end{cases}(loại)$ $TH3:\begin{cases}x+y-1=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=1\\x=0\end{cases}(loại)$ $TH4:\begin{cases}x+y-1=-1\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=1\\x=-1\end{cases}(loại)$ $TH5:\begin{cases}x+y-1=0\\y-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=0\\x=1\end{cases}(loại)$ $TH6:\begin{cases}x+y-1=-1\\y-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=0\\x=-1\end{cases}(loại)$ Vậy x = 1, y = 1. Do đó S = 2016 + 2017 = 4033.