chọn đáp án

Câu 1: Để tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách cụ thể. Mệnh đề A: \(a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}\) - Giả sử \(a\) và \(b\) đều dương. Khi \(a < b\), thì \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\) là đúng. - Tuy nhiên, nếu \(a\) và \(b\) âm, thì \(a < b\) nhưng \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\). - Mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp. Mệnh đề B: \(a < b \Rightarrow ac < bc\) - Nếu \(c > 0\), thì \(a < b \Rightarrow ac < bc\) là đúng. - Nếu \(c < 0\), thì \(a < b \Rightarrow ac > bc\). - Mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp. Mệnh đề C: \[ \left\{ \begin{array}{l} a < b \\ c < d \end{array} \right. \Rightarrow ac < bd \] - Giả sử \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -3\), \(d = -2\). Ta có \(1 < 2\) và \(-3 < -2\), nhưng \(1 \times (-3) = -3\) và \(2 \times (-2) = -4\), tức là \(-3 > -4\). - Mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp. Mệnh đề D: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < b \\ 0 < c < d \end{array} \right. \Rightarrow ac < bd \] - Vì \(0 < a < b\) và \(0 < c < d\), nên \(ac < bd\) là đúng. - Mệnh đề này đúng trong mọi trường hợp. Vậy, mệnh đề đúng là: \[D. \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < b \\ 0 < c < d \end{array} \right. \Rightarrow ac < bd\] Câu 2: Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra bất đẳng thức luôn đúng khi $a > b$ và $c > d$. Đáp án A: $ac > bd$ - Giả sử $a = 3$, $b = 2$, $c = 2$, $d = 1$. Ta có $3 > 2$ và $2 > 1$. - Kiểm tra $ac > bd$: $3 \cdot 2 = 6$ và $2 \cdot 1 = 2$. Ta thấy $6 > 2$. - Tuy nhiên, nếu $a = 3$, $b = 2$, $c = -2$, $d = -3$. Ta có $3 > 2$ và $-2 > -3$. - Kiểm tra $ac > bd$: $3 \cdot (-2) = -6$ và $2 \cdot (-3) = -6$. Ta thấy $-6 = -6$. - Vậy $ac > bd$ không luôn đúng. Đáp án B: $a - c > b - d$ - Giả sử $a = 3$, $b = 2$, $c = 2$, $d = 1$. Ta có $3 > 2$ và $2 > 1$. - Kiểm tra $a - c > b - d$: $3 - 2 = 1$ và $2 - 1 = 1$. Ta thấy $1 = 1$. - Tuy nhiên, nếu $a = 3$, $b = 2$, $c = 4$, $d = 1$. Ta có $3 > 2$ và $4 > 1$. - Kiểm tra $a - c > b - d$: $3 - 4 = -1$ và $2 - 1 = 1$. Ta thấy $-1 < 1$. - Vậy $a - c > b - d$ không luôn đúng. Đáp án C: $a + c > b + d$ - Giả sử $a = 3$, $b = 2$, $c = 2$, $d = 1$. Ta có $3 > 2$ và $2 > 1$. - Kiểm tra $a + c > b + d$: $3 + 2 = 5$ và $2 + 1 = 3$. Ta thấy $5 > 3$. - Nếu $a = 3$, $b = 2$, $c = 4$, $d = 1$. Ta có $3 > 2$ và $4 > 1$. - Kiểm tra $a + c > b + d$: $3 + 4 = 7$ và $2 + 1 = 3$. Ta thấy $7 > 3$. - Dù thay đổi các giá trị khác, ta vẫn thấy $a + c > b + d$ luôn đúng. Đáp án D: $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ - Giả sử $a = 3$, $b = 2$, $c = 2$, $d = 1$. Ta có $3 > 2$ và $2 > 1$. - Kiểm tra $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$: $\frac{3}{2} = 1.5$ và $\frac{2}{1} = 2$. Ta thấy $1.5 < 2$. - Tuy nhiên, nếu $a = 3$, $b = 2$, $c = 4$, $d = 1$. Ta có $3 > 2$ và $4 > 1$. - Kiểm tra $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$: $\frac{3}{4} = 0.75$ và $\frac{2}{1} = 2$. Ta thấy $0.75 < 2$. - Vậy $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ không luôn đúng. Kết luận: Đáp án đúng là C. $a + c > b + d$. Câu 3: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xem bất đẳng thức nào luôn đúng khi \(a > b\). 1. Kiểm tra lựa chọn \(A: ac > bc\): - Nếu \(c > 0\), thì \(ac > bc\) đúng. - Nếu \(c < 0\), thì \(ac < bc\) sai. - Nếu \(c = 0\), thì \(ac = bc\) sai. - Vậy \(A\) không luôn đúng. 2. Kiểm tra lựa chọn \(B: a^2 > b^2\): - Nếu \(a = 3\) và \(b = -4\), thì \(a^2 = 9\) và \(b^2 = 16\), tức là \(a^2 < b^2\). - Vậy \(B\) không luôn đúng. 3. Kiểm tra lựa chọn \(C: c - a > c - b\): - Ta có \(a > b\), suy ra \(-a < -b\). - Thêm \(c\) vào cả hai vế, ta có \(c - a < c - b\). - Vậy \(C\) không luôn đúng. 4. Kiểm tra lựa chọn \(D: a + c > b + c\): - Ta có \(a > b\), suy ra \(a + c > b + c\). - Vậy \(D\) luôn đúng. Do đó, bất đẳng thức luôn đúng là \(D: a + c > b + c\). Đáp án: \(D. a + c > b + c\). Câu 4: Ta sẽ kiểm tra từng bất đẳng thức để tìm ra bất đẳng thức nào không đúng. A. \( ac > bc \) - Vì \( a > b \) và \( c > 0 \), nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) với \( c \) ta được \( ac > bc \). - Vậy bất đẳng thức này đúng. B. \( a - c > b - d \) - Ta biết \( a > b \) và \( c > d \). - Xét \( a - c \) và \( b - d \): - Nếu \( a - c \) và \( b - d \) đều dương hoặc âm, ta không thể chắc chắn rằng \( a - c > b - d \) chỉ dựa vào \( a > b \) và \( c > d \). - Ví dụ, nếu \( a = 5 \), \( b = 3 \), \( c = 4 \), \( d = 2 \), ta có \( a - c = 5 - 4 = 1 \) và \( b - d = 3 - 2 = 1 \). Trong trường hợp này, \( a - c = b - d \), nên bất đẳng thức này không luôn đúng. - Vậy bất đẳng thức này không đúng. C. \( a^2 > b^2 \) - Vì \( a > b > 0 \), bình phương cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) ta được \( a^2 > b^2 \). - Vậy bất đẳng thức này đúng. D. \( ac > bd \) - Vì \( a > b > 0 \) và \( c > d > 0 \), nhân cả hai vế của bất đẳng thức \( a > b \) với \( c \) và \( d \) ta được \( ac > bd \). - Vậy bất đẳng thức này đúng. Kết luận: Bất đẳng thức nào sau đây không đúng là \( B.~a - c > b - d \). Câu 5: Từ $a+2024\geq b+2024$, ta có $a\geq b$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với 2, ta được $2a\geq 2b$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với -2024, ta được $-2024a\leq-2024b$. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với -1, ta được $-a\leq-b$. Vậy chỉ có bất đẳng thức ở đáp án A là đúng. Câu 6: Ta sẽ kiểm tra từng bất đẳng thức để xác định xem bất đẳng thức nào đúng khi biết rằng \(a < b\). 1. Kiểm tra bất đẳng thức \(A: 2a > 2b\): - Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a < b\) với 2: \[ 2a < 2b \] - Do đó, \(2a > 2b\) là sai. 2. Kiểm tra bất đẳng thức \(B: 5a + 7 < 5b + 7\): - Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a < b\) với 5: \[ 5a < 5b \] - Cộng thêm 7 vào cả hai vế: \[ 5a + 7 < 5b + 7 \] - Do đó, \(5a + 7 < 5b + 7\) là đúng. 3. Kiểm tra bất đẳng thức \(C: -3a < -3b\): - Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a < b\) với -3 (chú ý rằng nhân với số âm sẽ đổi chiều bất đẳng thức): \[ -3a > -3b \] - Do đó, \(-3a < -3b\) là sai. 4. Kiểm tra bất đẳng thức \(D: 5a - 2 > 5b - 2\): - Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a < b\) với 5: \[ 5a < 5b \] - Trừ đi 2 từ cả hai vế: \[ 5a - 2 < 5b - 2 \] - Do đó, \(5a - 2 > 5b - 2\) là sai. Kết luận: Bất đẳng thức đúng là \(B: 5a + 7 < 5b + 7\). Câu 7: Ta có $-5a > -5b$. Chia cả hai vế của bất đẳng thức này cho $-5$, ta được: \[ a < b \] Do đó, các bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. $a > b$ (sai) B. $5a > 5b$ (sai) C. $-a > -b$ (sai) D. $5a - 3 > 5b - 3$ (sai) Vậy không có bất đẳng thức nào trong các lựa chọn trên là đúng. Câu 8: Ta sẽ kiểm tra từng bất đẳng thức để xác định xem bất đẳng thức nào đúng. A. \(2a + 1 < 2b + 2\) Ta có: \[ a < b \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2a < 2b \] Cộng thêm 1 vào cả hai vế: \[ 2a + 1 < 2b + 1 \] So sánh với \(2a + 1 < 2b + 2\): \[ 2a + 1 < 2b + 1 \quad \text{(đúng)} \] \[ 2a + 1 < 2b + 2 \quad \text{(cũng đúng vì \(2b + 1 < 2b + 2\))} \] Vậy bất đẳng thức \(2a + 1 < 2b + 2\) là đúng. B. \(5a + 1 > 5b + 2\) Ta có: \[ a < b \] Nhân cả hai vế với 5: \[ 5a < 5b \] Cộng thêm 1 vào cả hai vế: \[ 5a + 1 < 5b + 1 \] So sánh với \(5a + 1 > 5b + 2\): \[ 5a + 1 < 5b + 1 \quad \text{(sai)} \] \[ 5a + 1 > 5b + 2 \quad \text{(sai vì \(5b + 1 < 5b + 2\))} \] Vậy bất đẳng thức \(5a + 1 > 5b + 2\) là sai. C. \(-a > -b\) Ta có: \[ a < b \] Nhân cả hai vế với -1 (chú ý đổi chiều bất đẳng thức): \[ -a > -b \] Vậy bất đẳng thức \(-a > -b\) là đúng. D. \(2a - 3 > 2b - 5\) Ta có: \[ a < b \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2a < 2b \] Cộng thêm -3 vào cả hai vế: \[ 2a - 3 < 2b - 3 \] So sánh với \(2a - 3 > 2b - 5\): \[ 2a - 3 < 2b - 3 \quad \text{(sai)} \] \[ 2a - 3 > 2b - 5 \quad \text{(sai vì \(2b - 3 > 2b - 5\))} \] Vậy bất đẳng thức \(2a - 3 > 2b - 5\) là sai. Tóm lại, các bất đẳng thức đúng là: \[ A.~2a + 1 < 2b + 2 \] \[ C.~-a > -b \] Câu 9: Ta sẽ kiểm tra từng bất đẳng thức một cách cụ thể. A. $\frac{a}{a+1} < \frac{b}{b+1}$ Xét hiệu: \[ \frac{a}{a+1} - \frac{b}{b+1} = \frac{a(b+1) - b(a+1)}{(a+1)(b+1)} = \frac{ab + a - ab - b}{(a+1)(b+1)} = \frac{a - b}{(a+1)(b+1)} \] Vì $a > b > 0$, nên $a - b > 0$. Do đó: \[ \frac{a - b}{(a+1)(b+1)} > 0 \] Vậy $\frac{a}{a+1} > \frac{b}{b+1}$. Bất đẳng thức này sai. B. $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ Xét hiệu: \[ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} \] Vì $a > b > 0$, nên $b - a < 0$. Do đó: \[ \frac{b - a}{ab} < 0 \] Vậy $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. Bất đẳng thức này đúng. C. $\frac{a^2 - 1}{a} < \frac{b^2 - 1}{b}$ Xét hiệu: \[ \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} \] \[ = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} \] \[ = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} \] \[ = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} = \frac{a^2 - 1}{a} - \frac{b^2 - 1}{b} \] D. $a^2 < b^2$ Vì $a > b > 0$, nên $a^2 > b^2$. Bất đẳng thức này sai. Vậy, chỉ có bất đẳng thức B là đúng. Đáp án: B. $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ Câu 10: Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra bất đẳng thức luôn đúng. A. \( ac > bd \) - Giả sử \( a = 3, b = 2, c = -1, d = -2 \): \( a > b \) và \( c > d \) nhưng \( ac = 3(-1) = -3 \) và \( bd = 2(-2) = -4 \), do đó \( ac > bd \) không luôn đúng. B. \( a - c > b - d \) - Giả sử \( a = 3, b = 2, c = 1, d = 0 \): \( a > b \) và \( c > d \) nhưng \( a - c = 3 - 1 = 2 \) và \( b - d = 2 - 0 = 2 \), do đó \( a - c > b - d \) không luôn đúng. C. \( a - d > b - c \) - Ta có \( a > b \) và \( c > d \). \( a - d > b - c \) luôn đúng vì: \( a - d > b - c \Leftrightarrow a - b > d - c \) Vì \( a > b \) nên \( a - b > 0 \) và vì \( c > d \) nên \( d - c < 0 \). Do đó \( a - b > d - c \) luôn đúng. D. \( -ac > -bd \) - Giả sử \( a = 3, b = 2, c = 1, d = 0 \): \( a > b \) và \( c > d \) nhưng \( -ac = -3(1) = -3 \) và \( -bd = -2(0) = 0 \), do đó \( -ac > -bd \) không luôn đúng. Vậy, bất đẳng thức luôn đúng là \( a - d > b - c \). Đáp án: C. \( a - d > b - c \) Câu 11: Để xác định bất đẳng thức nào luôn đúng khi \( a < b \), ta sẽ xem xét từng lựa chọn: A. \( 3a + 2c < 3b + 2c \) - Ta có thể trừ \( 2c \) từ cả hai vế của bất đẳng thức: \[ 3a + 2c - 2c < 3b + 2c - 2c \] \[ 3a < 3b \] - Chia cả hai vế cho 3 (vì 3 là số dương, không làm thay đổi chiều của bất đẳng thức): \[ a < b \] - Bất đẳng thức này đúng vì điều kiện ban đầu là \( a < b \). B. \( a^2 < b^2 \) - Bất đẳng thức này không luôn đúng. Ví dụ, nếu \( a = -2 \) và \( b = 1 \), thì \( a^2 = 4 \) và \( b^2 = 1 \), do đó \( a^2 > b^2 \). C. \( ac > bc \) - Bất đẳng thức này không luôn đúng. Ví dụ, nếu \( c = 0 \), thì \( ac = 0 \) và \( bc = 0 \), do đó \( ac = bc \). D. \( ac < bc \) - Ta có thể trừ \( bc \) từ cả hai vế của bất đẳng thức: \[ ac - bc < bc - bc \] \[ (a - b)c < 0 \] - Vì \( a < b \), nên \( a - b < 0 \). Do đó, nếu \( c > 0 \), bất đẳng thức này đúng. Tuy nhiên, nếu \( c < 0 \), thì bất đẳng thức này không đúng. Vì vậy, bất đẳng thức này không luôn đúng. Kết luận: Bất đẳng thức luôn đúng là \( 3a + 2c < 3b + 2c \). Vậy đáp án đúng là A. Câu 12: Ta sẽ kiểm tra từng bất đẳng thức để xác định xem bất đẳng thức nào đúng khi biết rằng \(a < b\). 1. Kiểm tra bất đẳng thức \(A: 2a > 2b\): - Nhân cả hai vế của \(a < b\) với 2: \[ 2a < 2b \] - Vậy \(2a > 2b\) là sai. 2. Kiểm tra bất đẳng thức \(B: 5a + 7 < 5b + 7\): - Nhân cả hai vế của \(a < b\) với 5: \[ 5a < 5b \] - Cộng 7 vào cả hai vế: \[ 5a + 7 < 5b + 7 \] - Vậy \(5a + 7 < 5b + 7\) là đúng. 3. Kiểm tra bất đẳng thức \(C: -3a < -3b\): - Nhân cả hai vế của \(a < b\) với -3 (chú ý đổi chiều bất đẳng thức): \[ -3a > -3b \] - Vậy \(-3a < -3b\) là sai. 4. Kiểm tra bất đẳng thức \(D: 5a - 2 > 5b - 2\): - Nhân cả hai vế của \(a < b\) với 5: \[ 5a < 5b \] - Trừ 2 từ cả hai vế: \[ 5a - 2 < 5b - 2 \] - Vậy \(5a - 2 > 5b - 2\) là sai. Kết luận: Bất đẳng thức đúng là \(B: 5a + 7 < 5b + 7\).