Người ta muốn xây 1 sân khấu với sân có dạng của 2 hình tròn giao nhau.Bán kính của 2 hình tròn là 20m và 15m.Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30m.Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông còn lại là 100 nghìn đồng.Hỏi số tiền làm mặt sân khấu là bao nhiêu

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn và diện tích phần còn lại của hai hình tròn, sau đó tính chi phí dựa trên diện tích đó.

Bước 1: Tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn

Giả sử hai hình tròn có tâm là $ O_1 $ và $ O_2 $ với bán kính lần lượt là $ R_1 = 20 $ m và $ R_2 = 15 $ m. Khoảng cách giữa hai tâm là $ d = 30 $ m.

Để tính diện tích phần giao nhau, ta sử dụng công thức tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn:

$$
A = R_1^2 \cos^{-1} \left( \frac{d^2 + R_1^2 - R_2^2}{2dR_1} \right) + R_2^2 \cos^{-1} \left( \frac{d^2 + R_2^2 - R_1^2}{2dR_2} \right) - \frac{1}{2} \sqrt{(-d + R_1 + R_2)(d + R_1 - R_2)(d - R_1 + R_2)(d + R_1 + R_2)}
$$

Thay các giá trị vào công thức:

$$
A = 20^2 \cos^{-1} \left( \frac{30^2 + 20^2 - 15^2}{2 \times 30 \times 20} \right) + 15^2 \cos^{-1} \left( \frac{30^2 + 15^2 - 20^2}{2 \times 30 \times 15} \right) - \frac{1}{2} \sqrt{(-30 + 20 + 15)(30 + 20 - 15)(30 - 20 + 15)(30 + 20 + 15)}
$$

Tính từng phần:

1. $\cos^{-1} \left( \frac{30^2 + 20^2 - 15^2}{2 \times 30 \times 20} \right)$
2. $\cos^{-1} \left( \frac{30^2 + 15^2 - 20^2}{2 \times 30 \times 15} \right)$
3. $\frac{1}{2} \sqrt{(-30 + 20 + 15)(30 + 20 - 15)(30 - 20 + 15)(30 + 20 + 15)}$

Sau khi tính toán, ta có diện tích phần giao nhau $ A $.

Bước 2: Tính diện tích phần còn lại của hai hình tròn

Diện tích của hình tròn bán kính $ R_1 $ là $ \pi R_1^2 $ và của hình tròn bán kính $ R_2 $ là $ \pi R_2^2 $.

Diện tích phần còn lại của hai hình tròn là:

$$
S_{\text{còn lại}} = \pi R_1^2 + \pi R_2^2 - 2A
$$

Bước 3: Tính chi phí

Chi phí phần giao nhau:

$$
\text{Chi phí giao nhau} = A \times 300,000
$$

Chi phí phần còn lại:

$$
\text{Chi phí còn lại} = S_{\text{còn lại}} \times 100,000
$$

Tổng chi phí:

$$
\text{Tổng chi phí} = \text{Chi phí giao nhau} + \text{Chi phí còn lại}
$$

Kết luận

Sau khi tính toán các giá trị trên, ta sẽ có tổng chi phí làm mặt sân khấu.

Người ta muốn xây 1 sân khấu với sân có dạng của 2 hình tròn giao nhau.Bán kính của 2 hình tròn là 20m và 15m.Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30m.Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau...