chọn đáp án

Câu 37: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng điểm trong các lựa chọn A, B, C, D xem có thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho hay không. Hệ bất phương trình đã cho là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x + \sqrt{3}y + 1 \leq 0 \end{array} \right. \] Lựa chọn A: $(1; -1)$ 1. Kiểm tra điều kiện $x > 0$: Với $x = 1$, điều kiện này thỏa mãn. 2. Kiểm tra bất phương trình $x + \sqrt{3}y + 1 \leq 0$: \[ 1 + \sqrt{3}(-1) + 1 = 2 - \sqrt{3} \] Vì $2 - \sqrt{3} > 0$, nên bất phương trình không thỏa mãn. Lựa chọn B: $(1; -\sqrt{3})$ 1. Kiểm tra điều kiện $x > 0$: Với $x = 1$, điều kiện này thỏa mãn. 2. Kiểm tra bất phương trình $x + \sqrt{3}y + 1 \leq 0$: \[ 1 + \sqrt{3}(-\sqrt{3}) + 1 = 2 - 3 = -1 \] Vì $-1 \leq 0$, nên bất phương trình thỏa mãn. Lựa chọn C: $(-1; \sqrt{5})$ 1. Kiểm tra điều kiện $x > 0$: Với $x = -1$, điều kiện này không thỏa mãn. Lựa chọn D: $(-4; \sqrt{3})$ 1. Kiểm tra điều kiện $x > 0$: Với $x = -4$, điều kiện này không thỏa mãn. Từ các phân tích trên, chỉ có lựa chọn B là thỏa mãn cả hai điều kiện của hệ bất phương trình. Do đó, khẳng định đúng là: B. $(1; -\sqrt{3}) \in S.$ Câu 38: Để tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta cần kiểm tra từng điểm xem có thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ hay không. Hệ bất phương trình đã cho là: \[ \begin{cases} 3x - 2y - 6 \geq 0 \\ 2(x-1) + \frac{3y}{2} \leq 4 \\ x \geq 0 \end{cases} \] Bước 1: Kiểm tra điểm \( A(2; -2) \) 1. \( 3x - 2y - 6 \geq 0 \): \[ 3(2) - 2(-2) - 6 = 6 + 4 - 6 = 4 \geq 0 \] Thỏa mãn. 2. \( 2(x-1) + \frac{3y}{2} \leq 4 \): \[ 2(2-1) + \frac{3(-2)}{2} = 2 - 3 = -1 \leq 4 \] Thỏa mãn. 3. \( x \geq 0 \): \[ 2 \geq 0 \] Thỏa mãn. Vậy điểm \( A(2; -2) \) thuộc miền nghiệm. Bước 2: Kiểm tra điểm \( B(3; 0) \) 1. \( 3x - 2y - 6 \geq 0 \): \[ 3(3) - 2(0) - 6 = 9 - 6 = 3 \geq 0 \] Thỏa mãn. 2. \( 2(x-1) + \frac{3y}{2} \leq 4 \): \[ 2(3-1) + \frac{3(0)}{2} = 4 \leq 4 \] Thỏa mãn. 3. \( x \geq 0 \): \[ 3 \geq 0 \] Thỏa mãn. Vậy điểm \( B(3; 0) \) thuộc miền nghiệm. Bước 3: Kiểm tra điểm \( C(1; -1) \) 1. \( 3x - 2y - 6 \geq 0 \): \[ 3(1) - 2(-1) - 6 = 3 + 2 - 6 = -1 \not\geq 0 \] Không thỏa mãn. Vậy điểm \( C(1; -1) \) không thuộc miền nghiệm. Bước 4: Kiểm tra điểm \( D(2; -3) \) 1. \( 3x - 2y - 6 \geq 0 \): \[ 3(2) - 2(-3) - 6 = 6 + 6 - 6 = 6 \geq 0 \] Thỏa mãn. 2. \( 2(x-1) + \frac{3y}{2} \leq 4 \): \[ 2(2-1) + \frac{3(-3)}{2} = 2 - \frac{9}{2} = 2 - 4.5 = -2.5 \leq 4 \] Thỏa mãn. 3. \( x \geq 0 \): \[ 2 \geq 0 \] Thỏa mãn. Vậy điểm \( D(2; -3) \) thuộc miền nghiệm. Kết luận: Điểm không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình là \( C(1; -1) \). Do đó, đáp án đúng là \( C \). Câu 39: Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta cần kiểm tra từng điểm xem có thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ hay không. Hệ bất phương trình đã cho là: \[ \begin{cases} 2x + 3y - 6 < 0 \\ x \geq 0 \\ 2x - 3y - 1 \leq 0 \end{cases} \] Kiểm tra từng điểm: Điểm A(1; 2): 1. Thay vào bất phương trình thứ nhất: \[ 2(1) + 3(2) - 6 = 2 + 6 - 6 = 2 < 0 \] Điều này không đúng, nên A(1; 2) không thuộc miền nghiệm. Điểm B(0; 2): 1. Thay vào bất phương trình thứ nhất: \[ 2(0) + 3(2) - 6 = 0 + 6 - 6 = 0 < 0 \] Điều này không đúng, nên B(0; 2) không thuộc miền nghiệm. Điểm C(-1; 3): 1. Thay vào bất phương trình thứ nhất: \[ 2(-1) + 3(3) - 6 = -2 + 9 - 6 = 1 < 0 \] Điều này không đúng, nên C(-1; 3) không thuộc miền nghiệm. Điểm D(0; -\frac{1}{3}): 1. Thay vào bất phương trình thứ nhất: \[ 2(0) + 3\left(-\frac{1}{3}\right) - 6 = 0 - 1 - 6 = -7 < 0 \] Điều này đúng. 2. Thay vào bất phương trình thứ hai: \[ 0 \geq 0 \] Điều này đúng. 3. Thay vào bất phương trình thứ ba: \[ 2(0) - 3\left(-\frac{1}{3}\right) - 1 = 0 + 1 - 1 = 0 \leq 0 \] Điều này đúng. Vậy điểm D(0; -\frac{1}{3}) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ, nên D là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Kết luận: Điểm D(0; -\frac{1}{3}) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Câu 40: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x; y) = x - 2y \) với điều kiện: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leq y \leq 5 \\ x \geq 0 \\ x + y - 2 \geq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \end{array} \right. \] Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình. - Từ \( 0 \leq y \leq 5 \), ta có \( y \) nằm trong đoạn từ 0 đến 5. - Từ \( x \geq 0 \), ta có \( x \) không âm. - Từ \( x + y - 2 \geq 0 \), suy ra \( x \geq 2 - y \). - Từ \( x - y - 2 \leq 0 \), suy ra \( x \leq y + 2 \). Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp các điểm \((x, y)\) thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Bước 2: Tìm các đỉnh của miền nghiệm. Miền nghiệm là một đa giác lồi, do đó giá trị nhỏ nhất của \( F(x; y) \) sẽ đạt tại một trong các đỉnh của miền này. Ta sẽ tìm các đỉnh này bằng cách giải các cặp phương trình tương ứng với các cạnh của miền. 1. Giao của \( x = 2 - y \) và \( x = y + 2 \): \[ 2 - y = y + 2 \implies 2y = 0 \implies y = 0 \implies x = 2 \] Đỉnh: \((2, 0)\) 2. Giao của \( x = 2 - y \) và \( y = 5 \): \[ x = 2 - 5 = -3 \quad (\text{loại vì } x \geq 0) \] 3. Giao của \( x = y + 2 \) và \( y = 5 \): \[ x = 5 + 2 = 7 \] Đỉnh: \((7, 5)\) 4. Giao của \( x = 0 \) và \( x = 2 - y \): \[ 0 = 2 - y \implies y = 2 \] Đỉnh: \((0, 2)\) 5. Giao của \( x = 0 \) và \( x = y + 2 \): \[ 0 = y + 2 \implies y = -2 \quad (\text{loại vì } y \geq 0) \] Các đỉnh của miền nghiệm là: \((2, 0)\), \((7, 5)\), \((0, 2)\). Bước 3: Tính giá trị của \( F(x; y) \) tại các đỉnh. - Tại \((2, 0)\): \[ F(2, 0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2 \] - Tại \((7, 5)\): \[ F(7, 5) = 7 - 2 \cdot 5 = 7 - 10 = -3 \] - Tại \((0, 2)\): \[ F(0, 2) = 0 - 2 \cdot 2 = -4 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của \( F(x; y) \) là \(-4\) đạt được tại \((0, 2)\). Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra lại các giá trị đã tính ở trên để đảm bảo rằng chúng ta đã tìm đúng giá trị nhỏ nhất. - Tại \((2, 0)\): \[ F(2, 0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2 \] - Tại \((7, 5)\): \[ F(7, 5) = 7 - 2 \cdot 5 = 7 - 10 = -3 \] - Tại \((0, 2)\): \[ F(0, 2) = 0 - 2 \cdot 2 = -4 \] Giá trị nhỏ nhất của \( F(x; y) \) là \(-4\) đạt được tại \((0, 2)\). Đáp án: \(\boxed{-4}\) Câu 41: Để giải bài toán này, chúng ta cần thiết lập các ràng buộc và mục tiêu để tối ưu hóa số điểm thưởng. Gọi \(a\) là số lít nước cam và \(b\) là số lít nước táo. Các ràng buộc: 1. Hương liệu: \(1a + 4b \leq 24\) 2. Nước: \(1a + 1b \leq 9\) 3. Đường: \(30a + 10b \leq 210\) Mục tiêu: Tối đa hóa số điểm thưởng \(P = 60a + 80b\). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra các ràng buộc và tìm giá trị tối ưu của \(a\) và \(b\). 1. Từ ràng buộc hương liệu: \(a + 4b \leq 24\) 2. Từ ràng buộc nước: \(a + b \leq 9\) 3. Từ ràng buộc đường: \(30a + 10b \leq 210\) hay \(3a + b \leq 21\) Chúng ta sẽ thử các giá trị của \(a\) và \(b\) trong khoảng từ 0 đến 9 (vì tổng số lít nước không vượt quá 9): - Nếu \(a = 0\): - \(4b \leq 24 \Rightarrow b \leq 6\) - \(b \leq 9\) - \(b \leq 21\) - Vậy \(b = 6\). Kiểm tra: \(P = 60(0) + 80(6) = 480\). - Nếu \(a = 1\): - \(1 + 4b \leq 24 \Rightarrow 4b \leq 23 \Rightarrow b \leq 5.75\) - \(1 + b \leq 9 \Rightarrow b \leq 8\) - \(3 + b \leq 21 \Rightarrow b \leq 18\) - Vậy \(b = 5\). Kiểm tra: \(P = 60(1) + 80(5) = 460\). - Nếu \(a = 2\): - \(2 + 4b \leq 24 \Rightarrow 4b \leq 22 \Rightarrow b \leq 5.5\) - \(2 + b \leq 9 \Rightarrow b \leq 7\) - \(6 + b \leq 21 \Rightarrow b \leq 15\) - Vậy \(b = 5\). Kiểm tra: \(P = 60(2) + 80(5) = 520\). Tiếp tục kiểm tra các giá trị khác của \(a\) và \(b\), chúng ta thấy rằng giá trị tối ưu là khi \(a = 2\) và \(b = 5\). Hiệu số \(a - b = 2 - 5 = -3\). Vậy đáp án là: B. 3. Câu 42: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thiết lập hệ bất phương trình dựa trên yêu cầu về protein và lipit, cũng như giới hạn về số lượng thịt bò và thịt lợn mà gia đình có thể mua. Gọi \( x \) là số kg thịt bò và \( y \) là số kg thịt lợn mà gia đình mua. Bước 1: Thiết lập các điều kiện về protein và lipit - Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. - Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. - Gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit mỗi ngày. Do đó, ta có các bất phương trình: \[ 800x + 600y \geq 900 \] \[ 200x + 400y \geq 400 \] Bước 2: Thiết lập các điều kiện về số lượng thịt bò và thịt lợn - Gia đình chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. \[ 0 \leq x \leq 1,6 \] \[ 0 \leq y \leq 1,1 \] Bước 3: Thiết lập hàm mục tiêu - Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. - Hàm mục tiêu là tổng chi phí: \[ C = 160x + 110y \] Bước 4: Kết hợp tất cả các điều kiện Hệ bất phương trình và điều kiện ràng buộc: \[ 800x + 600y \geq 900 \] \[ 200x + 400y \geq 400 \] \[ 0 \leq x \leq 1,6 \] \[ 0 \leq y \leq 1,1 \] Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( C = 160x + 110y \) trong miền xác định của \( x \) và \( y \). Kiểm tra các điểm biên của miền xác định: 1. \( x = 0 \): - \( 600y \geq 900 \Rightarrow y \geq 1,5 \) (không thỏa mãn vì \( y \leq 1,1 \)) - \( 400y \geq 400 \Rightarrow y \geq 1 \) - Điểm \( (0, 1) \): \( C = 160(0) + 110(1) = 110 \) 2. \( x = 1,6 \): - \( 800(1,6) + 600y \geq 900 \Rightarrow 1280 + 600y \geq 900 \Rightarrow 600y \geq -380 \) (luôn đúng) - \( 200(1,6) + 400y \geq 400 \Rightarrow 320 + 400y \geq 400 \Rightarrow 400y \geq 80 \Rightarrow y \geq 0,2 \) - Điểm \( (1,6, 0,2) \): \( C = 160(1,6) + 110(0,2) = 256 + 22 = 278 \) 3. \( y = 0 \): - \( 800x \geq 900 \Rightarrow x \geq 1,125 \) (không thỏa mãn vì \( x \leq 1,6 \)) - \( 200x \geq 400 \Rightarrow x \geq 2 \) (không thỏa mãn vì \( x \leq 1,6 \)) 4. \( y = 1,1 \): - \( 800x + 600(1,1) \geq 900 \Rightarrow 800x + 660 \geq 900 \Rightarrow 800x \geq 240 \Rightarrow x \geq 0,3 \) - \( 200x + 400(1,1) \geq 400 \Rightarrow 200x + 440 \geq 400 \Rightarrow 200x \geq -40 \) (luôn đúng) - Điểm \( (0,3, 1,1) \): \( C = 160(0,3) + 110(1,1) = 48 + 121 = 169 \) Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là 110 nghìn đồng, đạt được khi \( x = 0 \) và \( y = 1 \).