giải bài này

Câu 43: Để xác định khẳng định nào đúng, ta cần phân tích từng lựa chọn một cách chi tiết. A. \(\sin 90^\circ < \sin 100^\circ\) - Ta biết rằng \(\sin 90^\circ = 1\). - Với góc \(100^\circ\), ta có \(90^\circ < 100^\circ < 180^\circ\), do đó \(\sin 100^\circ\) là một giá trị dương nhưng nhỏ hơn 1 (vì \(\sin\) đạt giá trị lớn nhất là 1 tại \(90^\circ\) và giảm dần khi góc tăng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\)). - Vậy \(\sin 90^\circ = 1 > \sin 100^\circ\). Khẳng định A là sai. B. \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\) - Ta biết rằng \(\cos\) là hàm giảm trong khoảng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\). - Do đó, \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\). Khẳng định B là đúng. C. \(\tan 85^\circ < \tan 125^\circ\) - Ta biết rằng \(\tan 85^\circ\) là một giá trị rất lớn dương (gần như vô hạn) vì \(\tan\) tiến tới vô hạn khi góc tiến tới \(90^\circ\). - \(\tan 125^\circ\) là một giá trị âm vì \(125^\circ\) nằm trong góc phần tư thứ hai, nơi \(\tan\) âm. - Vậy \(\tan 85^\circ > \tan 125^\circ\). Khẳng định C là sai. D. \(\cos 145^\circ > \cos 125^\circ\) - Ta biết rằng \(\cos\) là hàm giảm trong khoảng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\). - Do đó, \(\cos 145^\circ < \cos 125^\circ\). Khẳng định D là sai. Tóm lại, khẳng định đúng là B: \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\). Câu 44: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản liên quan đến góc phụ. Cụ thể, các công thức cần nhớ là: 1. \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha\) 2. \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) 3. \(\tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha\) 4. \(\cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha\) Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \(\cot(90^\circ - \alpha) = -\tan\alpha\) Theo công thức đã nêu, \(\cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha\), không phải là \(-\tan\alpha\). Do đó, khẳng định A là sai. B. \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) Theo công thức đã nêu, \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\). Do đó, khẳng định B là đúng. C. \(\sin(90^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\) Theo công thức đã nêu, \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha\), không phải là \(-\cos\alpha\). Do đó, khẳng định C là sai. D. \(\tan(90^\circ - \alpha) = -\cot\alpha\) Theo công thức đã nêu, \(\tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha\), không phải là \(-\cot\alpha\). Do đó, khẳng định D là sai. Kết luận: Khẳng định đúng là B. \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\). Câu 45: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản đã được học ở lớp 10. 1. Công thức lượng giác cho góc phụ: - $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ - $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ - $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$ - $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$ 2. Kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: $\sin(180^\circ - \alpha) = -\sin\alpha$ Theo công thức trên, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Do đó, đáp án A sai. - Đáp án B: $\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ Theo công thức trên, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. Do đó, đáp án B sai. - Đáp án C: $\tan(180^\circ - \alpha) = \tan\alpha$ Theo công thức trên, $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$. Do đó, đáp án C sai. - Đáp án D: $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$ Theo công thức trên, $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$. Do đó, đáp án D đúng. Kết luận: Đáp án đúng là D. $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$. Câu 46: Để tìm giá trị của $\tan \alpha$, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông. Cho $\cos \alpha = \frac{2}{3}$, ta có thể coi $\cos \alpha = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \frac{2}{3}$. Giả sử tam giác vuông có cạnh kề là 2 và cạnh huyền là 3. Áp dụng định lý Pythagore, ta có: \[ \text{huyền}^2 = \text{kề}^2 + \text{đối}^2 \] \[ 3^2 = 2^2 + \text{đối}^2 \] \[ 9 = 4 + \text{đối}^2 \] \[ \text{đối}^2 = 5 \] \[ \text{đối} = \sqrt{5} \] Vì góc $\alpha$ nằm trong khoảng $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, nên $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$ đều dương. Do đó, $\text{đối} = \sqrt{5}$. Bây giờ, ta tính $\tan \alpha$: \[ \tan \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] Vậy, giá trị của $\tan \alpha$ là $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Do đó, đáp án đúng là $A.~\frac{\sqrt{5}}{2}$. Câu 47: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $\cos x$ khi biết $\sin x = \frac{1}{3}$ và $90^\circ < x < 180^\circ$. 1. Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản: Ta có công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay $\sin x = \frac{1}{3}$ vào, ta có: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] 2. Tìm $\cos x$: Ta có $\cos^2 x = \frac{8}{9}$, do đó: \[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] 3. Xác định dấu của $\cos x$: Vì $90^\circ < x < 180^\circ$, nên $x$ thuộc góc phần tư thứ II, nơi mà $\cos x$ có giá trị âm. Do đó: \[ \cos x = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] Vậy đáp án đúng là $D.~\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Câu 48: Để tính độ dài cạnh \( BC \) của tam giác \( ABC \) với \( AB = 2 \), \( AC = 1 \) và góc \( A = 60^\circ \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) có dạng: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ BC^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ \] Ta biết rằng \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Thay vào, ta có: \[ BC^2 = 4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \] \[ BC^2 = 5 - 2 \] \[ BC^2 = 3 \] Do đó, độ dài cạnh \( BC \) là: \[ BC = \sqrt{3} \] Vậy đáp án đúng là \( C.~BC = \sqrt{3} \). Câu 49: Để tính độ dài cạnh \(a\) của tam giác \(ABC\), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(a\), \(b\), \(c\) và góc \(A\) là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Với các giá trị đã cho: \(b = 7\), \(c = 5\), và \(\cos A = \frac{4}{5}\), ta thay vào công thức: \[ a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \frac{4}{5} \] Tính từng phần: - \(7^2 = 49\) - \(5^2 = 25\) - \(2 \times 7 \times 5 = 70\) - \(70 \times \frac{4}{5} = 56\) Thay các giá trị này vào phương trình: \[ a^2 = 49 + 25 - 56 \] \[ a^2 = 74 - 56 \] \[ a^2 = 18 \] Do đó, \(a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Vậy độ dài của cạnh \(a\) là \(3\sqrt{2}\). Đáp án đúng là \(A.~3\sqrt{2}\). Câu 50: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác. Đường trung tuyến \( m_a \) từ đỉnh A đến cạnh BC trong tam giác ABC có độ dài được tính theo công thức: \[ m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra công thức đúng: - Đáp án A: \( m^2_a = \frac{b^2+c^2}{2} + \frac{a^2}{4} \) Công thức này không khớp với công thức chuẩn đã nêu ở trên. - Đáp án B: \( m^2_a = \frac{a^2+c^2}{2} - \frac{b^2}{4} \) Công thức này cũng không khớp với công thức chuẩn. - Đáp án C: \( m^2_a = \frac{a^2+b^2}{2} - \frac{c^2}{4} \) Công thức này cũng không khớp với công thức chuẩn. - Đáp án D: \( m^2_a = \frac{2c^2 + 2b^2 - a^2}{4} \) Công thức này chính xác khớp với công thức chuẩn đã nêu. Vậy, đáp án đúng là D: \( m^2_a = \frac{2c^2 + 2b^2 - a^2}{4} \). Câu 51: Để tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), ta sử dụng công thức: \[ R = \frac{a}{2 \sin A} \] Trong đó: - \(a\) là độ dài cạnh đối diện với góc \(A\). - \(A\) là góc \(BAC\). Theo đề bài, ta có: - Góc \(BAC = 60^\circ\). - Cạnh \(BC = \sqrt{3}\). Do đó, \(a = BC = \sqrt{3}\) và \(A = 60^\circ\). Ta biết rằng \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Thay vào công thức tính bán kính \(R\): \[ R = \frac{\sqrt{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \] Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = 1\). Đáp án đúng là \(B.~R=1.\) Câu 52: Để tìm độ dài cạnh \( BC \) trong tam giác \( \Delta ABC \), ta có thể sử dụng định lý sin. Đầu tiên, ta cần xác định góc \( C \). Vì tổng ba góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \), ta có: \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ \] Áp dụng định lý sin trong tam giác \( \Delta ABC \): \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ \frac{5}{\sin 80^\circ} = \frac{BC}{\sin 40^\circ} \] Tính giá trị của các sin: - \(\sin 80^\circ \approx 0.9848\) - \(\sin 40^\circ \approx 0.6428\) Thay vào phương trình: \[ \frac{5}{0.9848} = \frac{BC}{0.6428} \] Giải phương trình trên để tìm \( BC \): \[ BC = \frac{5 \times 0.6428}{0.9848} \approx 3.263 \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy độ dài \( BC \) gần nhất với 3,3. Do đó, đáp án đúng là: B. 3,3. Câu 53: Để tính độ dài cạnh \( BC \) của tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) có dạng: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \] Trong bài toán này, ta có: - \( AB = 6 \, \text{cm} \) - \( AC = 8 \, \text{cm} \) - \(\angle BAC = 60^\circ\) Ta biết rằng \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). Thay các giá trị vào công thức định lý cosin: \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] Tính từng phần: - \( 6^2 = 36 \) - \( 8^2 = 64 \) - \( 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 48 \) Do đó: \[ BC^2 = 36 + 64 - 48 = 52 \] Suy ra: \[ BC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \] Vậy độ dài cạnh \( BC \) là \( 2\sqrt{13} \). Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn đã cho. Có thể có sai sót trong việc đưa ra đáp án hoặc trong quá trình tính toán. Hãy kiểm tra lại các bước tính toán hoặc thông tin đề bài. Câu 54: Để tìm giá trị của \(\cos A\) trong tam giác \(ABC\) với \(AB = 5~\text{cm}\), \(BC = 5~\text{cm}\), và \(AC = 3~\text{cm}\), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) có dạng: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong đó, \(a\), \(b\), và \(c\) là độ dài các cạnh của tam giác, và \(C\) là góc đối diện với cạnh \(c\). Ở đây, ta cần tìm \(\cos A\), do đó ta sẽ áp dụng định lý cosin cho góc \(A\): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 3^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos A \] Tính toán các bình phương: \[ 9 = 25 + 25 - 50 \cdot \cos A \] \[ 9 = 50 - 50 \cdot \cos A \] Chuyển vế và giải phương trình: \[ 50 \cdot \cos A = 50 - 9 \] \[ 50 \cdot \cos A = 41 \] \[ \cos A = \frac{41}{50} \] Vậy, giá trị của \(\cos A\) là \(\frac{41}{50}\).