mọi ngưòi giuap em bài hình vs ạ Bài 4. (3,0 điểm). Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB

Question

mọi ngưòi giuap em bài hình vs ạ Bài 4. (3,0 điểm). Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB<AC$ đường cao AH . Từ H kẻ $HM\bot AB(M\in AB)$,Kẻ $HN\bot AC(N\in AC)$ Gọi I là trung điểm của HC . Tia MH cắt tia AI tại K.,a) Tứ giác AMHN là hình gì? Vì sao?,b) Chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành.,c) MN cắt AH tại O, CO cắt AK tại G .Chứng minh $AK=3AG.$

Accepted Answer

Bài 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Tứ giác AMHN là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AMHN có hai góc vuông tại M và N, vì:

- $ HM \perp AB $ nên $\angle HMA = 90^\circ$.
- $ HN \perp AC $ nên $\angle HNA = 90^\circ$.

Do đó, tứ giác AMHN có hai góc đối diện cùng bằng $90^\circ$, nên AMHN là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song hoặc bằng nhau.

1. Chứng minh $AH = KC$:

Vì I là trung điểm của HC, nên $HI = IC$.

Trong tam giác vuông $AHC$, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là $AHI$ và $IHC$, có:

- $AH = HI$ (vì I là trung điểm của HC).

Do đó, $AH = KC$.

2. Chứng minh $AK \parallel HC$:

Vì $K$ nằm trên tia $AI$ và $I$ là trung điểm của $HC$, nên $AK$ là đường trung tuyến của tam giác $AHC$.

Do đó, $AK \parallel HC$.

Vì $AH = KC$ và $AK \parallel HC$, tứ giác AHKC là hình bình hành.

c) Chứng minh $AK = 3AG$.

Để chứng minh $AK = 3AG$, ta cần phân tích các đoạn thẳng trong hình.

1. Xét tam giác $AHC$:

- $MN$ cắt $AH$ tại $O$, do đó $O$ là trung điểm của $AH$ vì $MN$ là đường trung bình của tam giác vuông $AHC$.

2. Xét tam giác $AKC$:

- $CO$ cắt $AK$ tại $G$.

Vì $O$ là trung điểm của $AH$ và $MN$ là đường trung bình, nên $O$ cũng là trung điểm của $HC$.

3. Chứng minh $AK = 3AG$:

- $G$ là giao điểm của $CO$ và $AK$, và $O$ là trung điểm của $AH$, do đó $G$ chia $AK$ theo tỉ lệ $1:2$.

Vì $O$ là trung điểm của $AH$ và $G$ là điểm chia $AK$ theo tỉ lệ $1:2$, nên $AK = 3AG$.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.