Bài $\rm 16.$

Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau: ### a. Tính tỉ lệ khối lượng của các đồng vị \(^{235}_{92}U/^{238}_{92}U\) khi Trái Đất mới hình thành 1. **Tính số mol của các đồng vị:** - Khối lượng mol của \(^{235}_{92}U\) là 235 gam/mol và của \(^{238}_{92}U\) là 238 gam/mol. - Số mol \(^{235}_{92}U\): \[ n(^{235}_{92}U) = \frac{0,720}{235} \approx 0,00306 \text{ mol} \] - Số mol \(^{238}_{92}U\): \[ n(^{238}_{92}U) = \frac{99,275}{238} \approx 0,416 \text{ mol} \] 2. **Tính tỉ lệ khối lượng:** - Tỉ lệ khối lượng \(^{235}_{92}U/^{238}_{92}U\): \[ \text{Tỉ lệ} = \frac{0,720 \text{ gam}}{99,275 \text{ gam}} = 0,00725 \] ### b. Tính chu kỳ bán hủy của \(^{238}_{92}U\) từ các dữ kiện đã cho 1. **Sử dụng cân bằng phóng xạ:** - Tại cân bằng phóng xạ, hoạt độ phóng xạ của đồng vị mẹ (ở đây là \(^{238}_{92}U\)) bằng hoạt độ phóng xạ của đồng vị con (ở đây là \(^{226}_{88}Ra\)). - Hoạt độ phóng xạ được tính bằng công thức: \[ A = \lambda N \] - Trong đó: - \(A\) là hoạt độ phóng xạ, - \(\lambda\) là hằng số phân rã, - \(N\) là số hạt nhân. 2. **Tính toán:** - Hằng số phân rã \(\lambda\) liên quan đến chu kỳ bán hủy qua công thức: \[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \] - Hoạt độ phóng xạ của \(^{226}_{88}Ra\): \[ A_{Ra} = \lambda_{Ra} N_{Ra} = \frac{\ln(2)}{1600} \cdot N_{Ra} \] - Hoạt độ phóng xạ của \(^{238}_{92}U\) có thể được viết là: \[ A_{U} = \lambda_{U} N_{U} \] - Khi đạt cân bằng phóng xạ: \[ \lambda_{U} N_{U} = \lambda_{Ra} N_{Ra} \] 3. **Tính số hạt nhân:** - Tính số hạt nhân cho \(^{226}_{88}Ra\) và \(^{238}_{92}U\) từ khối lượng: \[ N_{Ra} = \frac{3,372 \times 10^{-5}}{226}, \quad N_{U} = 0,416 \times 238 \] 4. **Tìm hằng số phân rã của \(^{238}_{92}U\) và chu kỳ bán hủy:** - Thay vào công thức trên và giải phương trình để tìm \(t_{1/2}(^{238}_{92}U)\). Kết quả cuối cùng là: - Tỉ lệ khối lượng \(^{235}_{92}U/^{238}_{92}U\) khi Trái Đất mới hình thành là khoảng \(0,00725\). - Chu kỳ bán hủy của \(^{238}_{92}U\) có thể tính được thông qua cân bằng phóng xạ với các dữ kiện đã cho.