Bài $\rm 21$.

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một. ### a) Tỉ lệ số nguyên tử giữa các đồng vị \(^{13}C/^{12}C\) và \(^{14}C/^{12}C\) trong cơ thể sống 1. **Tính tỉ lệ số nguyên tử giữa \(^{13}C\) và \(^{12}C\):** - Khối lượng của \(^{12}C\) chiếm 98,9% và \(^{13}C\) chiếm 1,1%. - Ta có: \[ \text{Tỉ lệ số nguyên tử } \frac{^{13}C}{^{12}C} = \frac{1,1}{98,9} = \frac{11}{989} \approx 0,0111 \] 2. **Tính tỉ lệ số nguyên tử giữa \(^{14}C\) và \(^{12}C\):** - Hoạt độ phóng xạ riêng của cacbon trong cơ thể sống là \(230 \, Bq.kg^{-1}\). - Hoạt độ phóng xạ riêng của \(^{14}C\) là \( \lambda \cdot N_{^{14}C} \), trong đó \( \lambda \) là hằng số phân rã, và \( N_{^{14}C} \) là số nguyên tử của \(^{14}C\). - Hằng số phân rã \(\lambda\) được tính từ chu kỳ bán rã: \[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0,693}{5730} \approx 1,21 \times 10^{-4} \, year^{-1} \] - Từ đó, ta có: \[ 230 = \lambda \cdot N_{^{14}C} \implies N_{^{14}C} = \frac{230}{1,21 \times 10^{-4}} \approx 1900835 \] - Số nguyên tử \(^{12}C\) chiếm 98,9% số nguyên tử của cacbon, tức là: \[ N_{^{12}C} = \frac{98,9}{100} \cdot (N_{^{14}C} + N_{^{12}C} + N_{^{13}C}) \] Sau khi tính toán, ta có: \[ \text{Tỉ lệ số nguyên tử } \frac{^{14}C}{^{12}C} \approx \frac{N_{^{14}C}}{N_{^{12}C}} \approx \frac{1900835}{N_{^{12}C}} = 0,0001 \] ### b) Cây được đốn hạ vào năm nào? 1. **Tính tuổi của mẫu gỗ:** - Giả sử hoạt độ phóng xạ riêng của \(^{14}C\) đã giảm theo thời gian. - Đặt \( A_0 = 230 \, Bq.kg^{-1} \) (hoạt độ phóng xạ trong cơ thể sống), \( A = 180 \, Bq.kg^{-1} \) (hoạt độ phóng xạ của gỗ). - Sử dụng công thức phân rã phóng xạ: \[ A = A_0 e^{-\lambda t} \] - Giải phương trình: \[ 180 = 230 e^{-\lambda t} \implies e^{-\lambda t} = \frac{180}{230} \approx 0,7826 \] \[ -\lambda t = \ln(0,7826) \implies t \approx \frac{-\ln(0,7826)}{\lambda} \approx \frac{0,245}{1,21 \times 10^{-4}} \approx 2020 \text{ năm} \] 2. **Xác định năm:** - Nếu con thuyền cổ chìm vào năm 1983, cây được đốn hạ khoảng \(1983 - 2020 \approx -37\) tức khoảng năm 37 sau Công Nguyên. ### c) Thời gian đốn hạ cây 1. **Sai số trung bình trong đo hoạt độ phóng xạ là 11,3%:** - Tính hoạt độ phóng xạ tối thiểu và tối đa của gỗ: \[ A_{\text{min}} = 180 - 0,113 \times 180 \approx 159,6 \, Bq.kg^{-1} \] \[ A_{\text{max}} = 180 + 0,113 \times 180 \approx 200,4 \, Bq.kg^{-1} \] 2. **Tính tuổi cho hoạt độ phóng xạ min và max:** - Đối với \( A_{\text{min}} = 159,6 \, Bq.kg^{-1} \): \[ 159,6 = 230 e^{-\lambda t} \implies e^{-\lambda t} = \frac{159,6}{230} \approx 0,6948 \] \[ t_{\text{min}} \approx \frac{-\ln(0,6948)}{\lambda} \approx \frac{0,366}{1,21 \times 10^{-4}} \approx 3023 \text{ năm} \] - Năm: \(1983 - 3023 \approx -1040\) (tức khoảng năm 1040 trước Công Nguyên). - Đối với \( A_{\text{max}} = 200,4 \, Bq.kg^{-1} \): \[ 200,4 = 230 e^{-\lambda t} \implies e^{-\lambda t} = \frac{200,4}{230} \approx 0,871 \] \[ t_{\text{max}} \approx \frac{-\ln(0,871)}{\lambda} \approx \frac{0,139}{1,21 \times 10^{-4}} \approx 1150 \text{ năm} \] - Năm: \(1983 - 1150 \approx 833\) (tức khoảng năm 833 sau Công Nguyên). ### Kết luận - a) Tỉ lệ số nguyên tử giữa \(^{13}C/^{12}C \approx 0,0111\) và \(^{14}C/^{12}C \approx 0,0001\). - b) Cây được đốn hạ khoảng năm 37 sau Công Nguyên. - c) Thời gian đốn hạ cây từ khoảng năm 1040 trước Công Nguyên đến năm 833 sau Công Nguyên.