Một căn phòng cần được sơn lại các bức tường xung quanh và trần nhà. Căn phòng có dạng hình hộp chứ nhật với chiều dài x mét, chiều rộng y mét , chiều cao z mét. Gía sơn mỗi m vuông bao gồm là vật liệu...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Lập đa thức biểu thị chi phí để sơn căn phòng Căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài \(x\), chiều rộng \(y\), và chiều cao \(z\). Chúng ta cần sơn các bức tường xung quanh và trần nhà. 1. Diện tích các bức tường xung quanh: - Hai bức tường có diện tích: \(2 \times (x \times z) = 2xz\) - Hai bức tường còn lại có diện tích: \(2 \times (y \times z) = 2yz\) 2. Diện tích trần nhà: - Diện tích trần nhà là: \(x \times y\) 3. Tổng diện tích cần sơn: - Tổng diện tích cần sơn là: \(2xz + 2yz + xy\) 4. Chi phí sơn: - Chi phí sơn mỗi mét vuông là 120,000 đồng. - Vậy chi phí tổng cộng là: \(120,000 \times (2xz + 2yz + xy)\) Áp dụng khi \(x = 5\), \(y = 4\), \(z = 3\): - Diện tích cần sơn: \(2 \times 5 \times 3 + 2 \times 4 \times 3 + 5 \times 4 = 30 + 24 + 20 = 74 \, \text{m}^2\) - Chi phí sơn: \(120,000 \times 74 = 8,880,000 \, \text{đồng}\) b) Tìm các kích thước của căn phòng để chi phí sơn thấp nhất Giả sử diện tích sàn là 20 m² và thể tích phòng là 60 m³. 1. Diện tích sàn: - \(x \times y = 20\) 2. Thể tích phòng: - \(x \times y \times z = 60\) Từ \(x \times y = 20\), suy ra \(z = \frac{60}{20} = 3\). 3. Chi phí sơn: - Chi phí sơn là: \(120,000 \times (2xz + 2yz + xy)\) - Thay \(z = 3\) vào, ta có: \(120,000 \times (2x \times 3 + 2y \times 3 + xy)\) - \(= 120,000 \times (6x + 6y + xy)\) 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí: Với \(x \times y = 20\), ta có \(y = \frac{20}{x}\). Thay vào biểu thức chi phí: \[ 120,000 \times (6x + 6 \times \frac{20}{x} + x \times \frac{20}{x}) \] \[ = 120,000 \times (6x + \frac{120}{x} + 20) \] Để chi phí nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(6x + \frac{120}{x}\). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ 6x + \frac{120}{x} \geq 2\sqrt{6x \cdot \frac{120}{x}} = 2\sqrt{720} = 2 \times 12\sqrt{5} \] Giá trị nhỏ nhất đạt được khi \(6x = \frac{120}{x}\), tức là \(x^2 = 20\), suy ra \(x = \sqrt{20}\). Khi đó, \(y = \frac{20}{\sqrt{20}} = \sqrt{20}\). Vậy các kích thước của căn phòng là \(x = \sqrt{20}\), \(y = \sqrt{20}\), \(z = 3\). Chi phí thấp nhất: \[ 120,000 \times (6\sqrt{20} + 6\sqrt{20} + 20) \] \[ = 120,000 \times (12\sqrt{20} + 20) \] Tính toán cụ thể: \[ \sqrt{20} \approx 4.47 \] \[ 12 \times 4.47 + 20 \approx 53.64 + 20 = 73.64 \] Chi phí thấp nhất: \[ 120,000 \times 73.64 \approx 8,836,800 \, \text{đồng} \] Vậy chi phí sơn thấp nhất là khoảng 8,836,800 đồng.