Giải trắc nghiệm như tự luận

Câu 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng tổng quát Ax + By = C, trong đó A, B, C là các hằng số và A, B không đồng thời bằng 0. A. Phương trình 2x - 5y = 3 có dạng Ax + By = C với A = 2, B = -5, C = 3. Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn. B. Phương trình 0x + 2y = -2 có dạng Ax + By = C với A = 0, B = 2, C = -2. Mặc dù A = 0, nhưng B ≠ 0 nên đây vẫn là phương trình bậc nhất hai ẩn. C. Phương trình 3x - 0y = 9 có dạng Ax + By = C với A = 3, B = 0, C = 9. Mặc dù B = 0, nhưng A ≠ 0 nên đây vẫn là phương trình bậc nhất hai ẩn. D. Phương trình 0x - 0y = 2 có dạng Ax + By = C với A = 0, B = 0, C = 2. Vì cả A và B đều bằng 0, nên đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, phương trình không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình D. Câu 2: Để xác định hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng hệ phương trình để xem tất cả các phương trình trong hệ có phải là phương trình bậc nhất hai ẩn hay không. A. $\left\{\begin{array}{l}3x+4y^2=1\\-5x=18.\end{array}\right.$ Phương trình đầu tiên $3x + 4y^2 = 1$ có chứa $y^2$, nên nó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, hệ này không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. B. $\left\{\begin{array}{l}0,6x-0,8y=-0,9\\0x+0y=-0,7.\end{array}\right.$ Phương trình đầu tiên $0,6x - 0,8y = -0,9$ là phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương trình thứ hai $0x + 0y = -0,7$ là một phương trình vô nghiệm, nhưng vẫn là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, hệ này là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. C. $\left\{\begin{array}{l}-4x+5y=0\\2x+5y=-19.\end{array}\right.$ Cả hai phương trình $-4x + 5y = 0$ và $2x + 5y = -19$ đều là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, hệ này là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. D. $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=2\\3x^2-5y^2=-10.\end{array}\right.$ Phương trình thứ hai $3x^2 - 5y^2 = -10$ có chứa $x^2$ và $y^2$, nên nó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, hệ này không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy, hệ phương trình nào dưới đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là: $B.\left\{\begin{array}{l}0,6x-0,8y=-0,9\\0x+0y=-0,7.\end{array}\right.$ $C.\left\{\begin{array}{l}-4x+5y=0\\2x+5y=-19.\end{array}\right.$ Câu 3: Thay $x=-2,y=4$ vào từng hệ phương trình ta thấy hệ phương trình ở đáp án D nhận cặp số $-2;4$ là nghiệm. Câu 4: Để xác định bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng lựa chọn: A. \(-2x + 5 > 0\) - Đây là một bất phương trình bậc nhất một ẩn, vì nó có dạng \(ax + b > 0\) với \(a = -2\) và \(b = 5\). B. \(3x - 2y \leq 0\) - Đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn, vì nó có hai biến \(x\) và \(y\). C. \(-4x^2 - 2 < 0\) - Đây là một bất phương trình bậc hai một ẩn, vì nó có chứa \(x^2\). D. \(9 + 0x \geq -3\) - Đây là một bất phương trình hằng, vì \(0x\) không ảnh hưởng đến giá trị của bất phương trình, và nó luôn đúng. Vậy, bất phương trình bậc nhất một ẩn là: \(A. -2x + 5 > 0\) Đáp án: \(A. -2x + 5 > 0\) Câu 5: Quan sát hình vẽ, ta thấy: - Điểm \(a\) nằm bên trái điểm \(O\), do đó \(a < 0\). - Điểm \(b\) nằm bên phải điểm \(O\), do đó \(b > 0\). - Điểm \(a\) nằm bên trái điểm \(b\), do đó \(a < b\). Dựa vào các nhận xét trên, ta có thể kết luận rằng phát biểu đúng là: A. \(a < 0\) và \(0 < b\). Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần hiểu rõ định nghĩa của tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của một góc nhọn được định nghĩa như sau: - Tang của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề của góc đó. Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: - Góc B là góc nhọn. - Cạnh đối diện với góc B là cạnh AC. - Cạnh kề với góc B là cạnh AB. Do đó, ta có: \[ \tan B = \frac{\text{cạnh đối diện}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} \] Vậy đáp án đúng là B. \(\frac{AC}{AB}\). Câu 7: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định để tìm ra khẳng định sai. A. $a + 5 > b + 5$ - Vì $a > b$, khi cộng thêm cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức, bất đẳng thức vẫn đúng. - Do đó, $a + 5 > b + 5$ là đúng. B. $4a > 4b$ - Vì $a > b$, khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, bất đẳng thức vẫn đúng. - Do đó, $4a > 4b$ là đúng. C. $-7a < -7b$ - Vì $a > b$, khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, bất đẳng thức đổi chiều. - Do đó, $-7a < -7b$ là đúng. D. $-a + 8 > -b + 8$ - Vì $a > b$, khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, bất đẳng thức đổi chiều. - Ta có $-a < -b$. - Khi cộng thêm cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức, bất đẳng thức vẫn đúng. - Do đó, $-a + 8 < -b + 8$ là đúng, chứ không phải $-a + 8 > -b + 8$. Vậy khẳng định sai là D. $-a + 8 > -b + 8$. Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị của biểu thức \( N \) từng bước một. 1. Tính \(\frac{\sin 56^\circ}{\cos 34^\circ}\): Ta có công thức: \(\sin 56^\circ = \cos (90^\circ - 56^\circ) = \cos 34^\circ\). Do đó, \(\frac{\sin 56^\circ}{\cos 34^\circ} = \frac{\cos 34^\circ}{\cos 34^\circ} = 1\). 2. Tính \(\cos 60^\circ\): Ta biết \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). 3. Tính \(\tan 38^\circ \cdot \tan 52^\circ\): Ta có công thức: \(\tan 38^\circ \cdot \tan 52^\circ = 1\) vì \(\tan (90^\circ - 38^\circ) = \tan 52^\circ\). 4. Tính \(\sin 30^\circ\): Ta biết \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). 5. Tính giá trị của \(N\): Thay các giá trị đã tính vào biểu thức \(N\): \[ N = \frac{\sin 56^\circ}{\cos 34^\circ} - \cos 60^\circ + \tan 38^\circ \cdot \tan 52^\circ + \sin 30^\circ \] \[ N = 1 - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} \] \[ N = 1 - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2 \] Vậy, giá trị của \(N\) là 2. Câu 9: Phương trình $(x-\frac{1}{3})(x+3)=0$ sẽ thỏa mãn khi ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. 1. Nhân tử đầu tiên: $x - \frac{1}{3} = 0$ \[ x = \frac{1}{3} \] 2. Nhân tử thứ hai: $x + 3 = 0$ \[ x = -3 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{1}{3} \text{ hoặc } x = -3 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x = \frac{1}{3} \text{ và } x = -3 \] Câu 10: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài các cạnh của tam giác vuông ABC và sau đó tính giá trị của $\cos B$. 1. Tìm độ dài cạnh AC: Trong tam giác vuông ABC, ta có $AH \bot BC$ và $AH = 6$, $BH = 3$. Do đó, $HC = BC - BH = BC - 3$. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có: \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 \] Suy ra $AB = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$. 2. Tìm độ dài cạnh BC: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC, ta có: \[ AC^2 = AH^2 + HC^2 = 6^2 + (BC - 3)^2 \] Mà $AB = 3\sqrt{5}$, nên $AC = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{45 - 36} = \sqrt{9} = 3$. 3. Tính $\cos B$: Trong tam giác vuông ABC, $\cos B = \frac{AB}{AC}$. Ta đã tìm được $AB = 3\sqrt{5}$ và $AC = 3$, do đó: \[ \cos B = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5} \] Tuy nhiên, có vẻ như có sự nhầm lẫn trong việc tính toán. Hãy kiểm tra lại: Thực tế, $\cos B = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Vậy đáp án đúng là $D.~\cos B=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về tam giác vuông và các tỉ số lượng giác. Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ với $\widehat A = 90^\circ$, $AH \bot BC$ tại $H$, $BH = 3$, và $HC = 1$. Ta cần tìm góc $\widehat C$. 1. Tính độ dài cạnh $BC$: Vì $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$, nên $BC = BH + HC = 3 + 1 = 4$. 2. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông $\Delta ABC$, ta có hệ thức lượng: \[ \frac{BH}{BC} = \cos C \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \cos C = \frac{BH}{BC} = \frac{3}{4} \] 3. Tìm góc $\widehat C$: Ta biết rằng $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, và $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Trong các giá trị này, không có giá trị nào bằng $\frac{3}{4}$. Tuy nhiên, ta có thể sử dụng bảng giá trị lượng giác hoặc máy tính để tìm góc có $\cos C = \frac{3}{4}$. Kết quả là $\widehat C \approx 41.41^\circ$. Trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào chính xác với giá trị này. Tuy nhiên, nếu chỉ xét các đáp án gần đúng, thì không có đáp án nào phù hợp. Do đó, không có đáp án nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng với bài toán này. Câu 12: Để tính độ dài \( AB \) trong tam giác vuông \( \triangle AHB \), ta sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông. Cho góc \( \angle HBA = 60^\circ \) và cạnh \( HB = 10 \, m \). Ta có: \[ \cos 60^\circ = \frac{HB}{AB} \] Vì \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), ta có: \[ \frac{1}{2} = \frac{10}{AB} \] Giải phương trình trên: \[ AB = 10 \times 2 = 20 \, m \] Vậy, độ dài \( AB \) là \( 20 \, m \). Đáp án đúng là \( B.~AB=20m. \) Câu 13: a) Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x + 5 = 4y + 2 \\ 2x - 3y - 1 = 0 \end{array} \right. \] Viết lại phương trình đầu tiên dưới dạng: \[ 3x - 4y = -3 \] Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x - 4y = -3 \\ 2x - 3y = 1 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ hai với 3 và phương trình thứ nhất với 2 để làm hệ số của \( x \) giống nhau: \[ \left\{ \begin{array}{l} 6x - 8y = -6 \\ 6x - 9y = 3 \end{array} \right. \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (6x - 8y) - (6x - 9y) = -6 - 3 \] \[ 6x - 8y - 6x + 9y = -9 \] \[ y = 9 \] Thay \( y = 9 \) vào phương trình \( 2x - 3y = 1 \): \[ 2x - 3(9) = 1 \] \[ 2x - 27 = 1 \] \[ 2x = 28 \] \[ x = 14 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = 14, y = 9 \] b) Giải bất phương trình: \[ \frac{x - 5}{6} < 2 - \frac{1 - 3x}{4} \] Quy đồng mẫu số chung cho vế phải: \[ \frac{x - 5}{6} < \frac{8 - (1 - 3x)}{4} \] \[ \frac{x - 5}{6} < \frac{8 - 1 + 3x}{4} \] \[ \frac{x - 5}{6} < \frac{7 + 3x}{4} \] Nhân cả hai vế với 12 để bỏ mẫu số: \[ 2(x - 5) < 3(7 + 3x) \] \[ 2x - 10 < 21 + 9x \] Chuyển \( 2x \) sang vế phải và chuyển \( 21 \) sang vế trái: \[ -10 - 21 < 9x - 2x \] \[ -31 < 7x \] Chia cả hai vế cho 7: \[ -\frac{31}{7} < x \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x > -\frac{31}{7} \] Câu 14: 1. a) $(4x+1)(x-2)=0$ Điều kiện xác định: Tất cả các giá trị của x đều thỏa mãn phương trình. Phương trình có nghiệm khi: $4x + 1 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$ $x = -\frac{1}{4}$ hoặc $x = 2$ b) $\frac{y-2}{y+2}-\frac{3}{y-2}=\frac{2(y-11)}{4+2y}$ Điều kiện xác định: $y \neq -2; y \neq 2$ Nhân chéo và rút gọn phương trình: $(y-2)^2 - 3(y+2) = 2(y-11)$ $y^2 - 4y + 4 - 3y - 6 = 2y - 22$ $y^2 - 7y - 2 = 2y - 22$ $y^2 - 9y + 20 = 0$ Phương trình có nghiệm khi: $y = 5$ hoặc $y = 4$ 2. Gọi giá niêm yết của tủ lạnh là x (triệu đồng) và giá niêm yết của máy giặt là y (triệu đồng) (điều kiện: x > 0, y > 0) Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $x + y = 25,4$ $0,6x + 0,75y = 16,77$ Giải hệ phương trình: Từ phương trình đầu tiên, ta có $y = 25,4 - x$. Thay vào phương trình thứ hai: $0,6x + 0,75(25,4 - x) = 16,77$ $0,6x + 19,05 - 0,75x = 16,77$ $-0,15x = -2,28$ $x = 15,2$ Thay giá trị của x vào phương trình $y = 25,4 - x$, ta có: $y = 25,4 - 15,2 = 10,2$ Vậy giá niêm yết của tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và giá niêm yết của máy giặt là 10,2 triệu đồng. Câu 15: Giải: a) Tính \(AC\), \(BC\). Trong tam giác vuông \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), ta có: - \(\angle C = 30^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\). Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: - \( \sin C = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \sin 30^\circ = \frac{AC}{10} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{AC}{10} \Rightarrow AC = 5 \, \text{cm} \). - \( \cos C = \frac{BC}{AB} \Rightarrow \cos 30^\circ = \frac{BC}{10} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{10} \Rightarrow BC = 5\sqrt{3} \, \text{cm} \). b) Trên \(AB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\frac{MA}{MB}=\frac{1}{2}\). Gọi \(MA = x\), \(MB = 2x\). Vì \(MA + MB = AB = 10\), ta có: \[ x + 2x = 10 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3} \] Vậy \(MA = \frac{10}{3}\) và \(MB = \frac{20}{3}\). Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) tại \(E\) và cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh: \(\tan \angle BNC \cdot \tan \angle BNK = 3\). - Do \(MN \parallel BC\), ta có \(\angle BNC = \angle ACB = 30^\circ\). - \(\tan \angle BNC = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\). - \(\angle BNK = \angle BAC = 60^\circ\). - \(\tan \angle BNK = \tan 60^\circ = \sqrt{3}\). Tính tích: \[ \tan \angle BNC \cdot \tan \angle BNK = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1 \] Có thể có lỗi trong đề bài hoặc hình vẽ, vì kết quả không khớp với yêu cầu \(=3\). Vui lòng kiểm tra lại đề bài hoặc hình vẽ. Câu 16: Để tính khoảng cách AD, chúng ta cần biết thông tin cụ thể về các đoạn thẳng AB, BC, và CD. Tuy nhiên, vì không có hình vẽ cụ thể và không có thông tin chi tiết về độ dài của các đoạn thẳng này, chúng ta sẽ giả định một số điều kiện cơ bản để giải quyết bài toán. Giả sử rằng các đoạn thẳng AB, BC, và CD tạo thành một tam giác hoặc một hình tứ giác với hồ nước nằm bên trong. Để tính khoảng cách AD, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore nếu các đoạn thẳng tạo thành một tam giác vuông, hoặc sử dụng các định lý khác nếu cần thiết. Dưới đây là một cách tiếp cận giả định: 1. Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại B: - Nếu AB và BC là hai cạnh góc vuông, thì ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính AC: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] 2. Tính khoảng cách AD: - Nếu CD là một đoạn thẳng nối từ C đến D và AD là đường chéo của hình chữ nhật hoặc hình vuông tạo bởi các đoạn thẳng này, ta có thể sử dụng định lý Pythagore một lần nữa: \[ AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} \] 3. Kết luận: - Khoảng cách AD phụ thuộc vào độ dài cụ thể của các đoạn thẳng AB, BC, và CD. Nếu có thông tin cụ thể hơn, chúng ta có thể tính toán chính xác hơn. Nếu có thêm thông tin về độ dài của các đoạn thẳng hoặc hình dạng cụ thể của con đường, vui lòng cung cấp để có thể đưa ra lời giải chính xác hơn.