Tính giá trị biểu thức $A=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$.

Ta có: \[ A = \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} + \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}. \] Bình phương hai vế ta được: \[ A^2 = \left( \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} + \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} \right)^2. \] Phát triển biểu thức trên: \[ A^2 = \left( \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} \right)^2 + \left( \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} \right)^2 + 2 \cdot \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}. \] Rút gọn các phần tử: \[ A^2 = (4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}) + (4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}) + 2 \cdot \sqrt{(4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}})(4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}})}. \] Tiếp tục rút gọn: \[ A^2 = 8 + 2 \cdot \sqrt{(4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}})(4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}})}. \] Nhận thấy rằng: \[ (4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}})(4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}) = 16 - (\sqrt{10 + 2\sqrt{5}})^2. \] Do đó: \[ (4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}})(4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}) = 16 - (10 + 2\sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5}. \] Thay vào biểu thức: \[ A^2 = 8 + 2 \cdot \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}. \] Ta nhận thấy rằng: \[ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1. \] Do đó: \[ A^2 = 8 + 2 \cdot (\sqrt{5} - 1) = 8 + 2\sqrt{5} - 2 = 6 + 2\sqrt{5}. \] Cuối cùng: \[ A = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}. \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}. \]