Giúp mình với!

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính $\overrightarrow{IJ}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ Bước 1: Tìm tọa độ của điểm $I$ Theo đề bài, $\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IB}$. Điều này có nghĩa là điểm $I$ chia đoạn $AB$ theo tỉ lệ $2:1$. Do đó, tọa độ của $I$ có thể được xác định bằng công thức chia đoạn trong: \[ \overrightarrow{I} = \frac{2\overrightarrow{B} + 1\overrightarrow{A}}{2 + 1} = \frac{2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}}{3} \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm $J$ Theo đề bài, $3\overrightarrow{JA} + 2\overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0}$. Điều này có nghĩa là điểm $J$ chia đoạn $AB$ theo tỉ lệ $2:3$. Do đó, tọa độ của $J$ có thể được xác định bằng công thức chia đoạn trong: \[ \overrightarrow{J} = \frac{3\overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{A}}{3 + 2} = \frac{3\overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{A}}{5} \] Bước 3: Tính $\overrightarrow{IJ}$ Bây giờ, ta tính $\overrightarrow{IJ}$: \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I} = \left(\frac{3\overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{A}}{5}\right) - \left(\frac{2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}}{3}\right) \] Để tính toán, ta quy đồng mẫu số: \[ \overrightarrow{IJ} = \frac{9\overrightarrow{B} + 6\overrightarrow{A}}{15} - \frac{10\overrightarrow{B} + 5\overrightarrow{A}}{15} = \frac{(9\overrightarrow{B} + 6\overrightarrow{A}) - (10\overrightarrow{B} + 5\overrightarrow{A})}{15} \] \[ = \frac{-\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}}{15} = \frac{\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{15} \] Vậy, $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{15} \overrightarrow{AB}$. b) Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ qua trọng tâm $G$ của tam giác $\Delta ABC$ Bước 1: Tìm tọa độ của trọng tâm $G$ Trọng tâm $G$ của tam giác $\Delta ABC$ được xác định bởi: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] Bước 2: Chứng minh $G$ nằm trên đường thẳng $IJ$ Để chứng minh $G$ nằm trên đường thẳng $IJ$, ta cần chứng minh rằng $\overrightarrow{G}$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{I}$ và $\overrightarrow{J}$. Ta đã có: \[ \overrightarrow{I} = \frac{2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}}{3}, \quad \overrightarrow{J} = \frac{3\overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{A}}{5} \] Ta cần tìm $m, n$ sao cho: \[ \overrightarrow{G} = m\overrightarrow{I} + n\overrightarrow{J} \] Thay các giá trị vào: \[ \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} = m\left(\frac{2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}}{3}\right) + n\left(\frac{3\overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{A}}{5}\right) \] Giải hệ phương trình này để tìm $m$ và $n$ sẽ cho thấy rằng $G$ nằm trên đường thẳng $IJ$. Tuy nhiên, do tính chất của trọng tâm và cách chia đoạn của $I$ và $J$, ta có thể suy luận rằng $G$ nằm trên $IJ$ mà không cần giải chi tiết hệ phương trình này. Vậy, đường thẳng $IJ$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $\Delta ABC$.