Tìm $m$ để phương trình $\frac{2m-1}{x-2}=m-3$ vô nghiệm.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình \(2m - 1 = (m - 3)(x - 2)\) vô nghiệm hoặc nghiệm của nó là nghiệm ngoại lai. Ta có \(2m - 1 = (m - 3)(x - 2)\) \((m - 3)x = 2m - 1 + 2(m - 3)\) \((m - 3)x = 4m - 7\) Phương trình trên vô nghiệm khi và chỉ khi \(m - 3 = 0\) và \(4m - 7 \neq 0\) \(m = 3\) và \(4m - 7 \neq 0\) \(m = 3\) và \(4 \cdot 3 - 7 \neq 0\) \(m = 3\) và \(5 \neq 0\) Do đó, \(m = 3\) thỏa mãn điều kiện trên. Nghiệm của phương trình \((m - 3)x = 4m - 7\) là \(x = \frac{4m - 7}{m - 3}\). Nghiệm này là nghiệm ngoại lai khi và chỉ khi \(\frac{4m - 7}{m - 3} = 2\) \(4m - 7 = 2(m - 3)\) \(4m - 7 = 2m - 6\) \(2m = 1\) \(m = \frac{1}{2}\) Vậy \(m = 3\) hoặc \(m = \frac{1}{2}\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.