Cho tam giác ABC . Gọi xy là đường thẳng đi qua A và song song với BC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt xy tại M. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt xy tại N. Chứng minh rằng: a) tam gi...

$MN \parallel BC$ (Vì $xy$ đi qua $A$ và song song với $BC$)$BM \parallel AC$ (Theo giả thiết)$CN \parallel AB$ (Theo giả thiết)a) Chứng minh $\triangle BAM = \triangle ABC = \triangle CNA$Đây là một lỗi đánh máy nhỏ trong đề bài. Ta cần chứng minh các cặp tam giác bằng nhau, cụ thể là: $\triangle BAM = \triangle ABC$ và $\triangle ABC = \triangle CNA$.Bước 1: Chứng minh $\triangle BAM = \triangle ABC$Xét Tứ giác $ABMC$:Ta có $BM \parallel AC$ (giả thiết).Ta có $AM \parallel BC$ (vì $MN \parallel BC$).Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.$\Rightarrow ABMC$ là hình bình hành.Từ tính chất hình bình hành $ABMC$, ta có:$AM = BC$ (Cạnh đối)$AB = MC$ (Cạnh đối)$AC$ là đường chéo.Xét $\triangle ABC$ và $\triangle BAM$:$AB$ là cạnh chung.$\widehat{BAM} = \widehat{ABC}$ (Hai góc so le trong, do $AM \parallel BC$ bị cắt bởi đường thẳng $AB$).$\widehat{ACB} = \widehat{CBM}$ (Hai góc so le trong, do $AC \parallel BM$ bị cắt bởi đường thẳng $BC$). $\Rightarrow$ Điều này không giúp ích trực tiếp.Ta dùng cách 2: Sử dụng các cạnh và góc xen giữaXét $\triangle ABC$ và $\triangle BAM$:$AB$ là cạnh chung.$\widehat{BAM} = \widehat{ABC}$ (Hai góc so le trong, do $AM \parallel BC$).$\widehat{MAB} + \widehat{BAC}$ và $\widehat{ABC} + \widehat{ACB}$... (rất phức tạp)Ta dùng cách 3: Dùng hình bình hành và $BC$ là đường chéo chung.Xét $\triangle ABC$ và $\triangle BAM$:$AB$ là cạnh chung.$AM = BC$ (Cạnh đối của hình bình hành $ABMC$). SAI. $AM$ và $BC$ là hai cạnh đối song song, không phải cạnh kề.Ta xét $\triangle ABC$ và $\triangle MCB$ (sử dụng tính chất đường chéo của h.b.h $ABMC$):$BC$ là cạnh chung.$AC = BM$ (Cạnh đối h.b.h $ABMC$).$AB = MC$ (Cạnh đối h.b.h $ABMC$).$\Rightarrow \triangle ABC = \triangle MCB$ (c.c.c).Lưu ý: Không phải $\triangle BAM$.Quay lại $\triangle BAM$ và $\triangle ABC$: Ta cần chứng minh $\triangle BAM$ bằng một tam giác khác.Xét $\triangle ABM$ và $\triangle BCA$:$AB$ là cạnh chung.$BM = AC$ (Cạnh đối của h.b.h $ABMC$).$AM = BC$ (Cạnh đối của h.b.h $ABMC$).$\Rightarrow \triangle ABM = \triangle BCA$ (c.c.c).Bước 2: Chứng minh $\triangle ABC = \triangle CNA$Xét Tứ giác $ABNC$:Ta có $CN \parallel AB$ (giả thiết).Ta có $AN \parallel BC$ (vì $MN \parallel BC$).Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.$\Rightarrow ABNC$ là hình bình hành.Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CNA$:$AC$ là cạnh chung.$AB = NC$ (Cạnh đối của h.b.h $ABNC$).$BC = AN$ (Cạnh đối của h.b.h $ABNC$).$\Rightarrow \triangle ABC = \triangle CNA$ (c.c.c).Kết luận phần a):Do $\triangle ABM = \triangle BCA$ và $\triangle ABC = \triangle CNA$.$\Rightarrow \mathbf{\triangle BAM = \triangle ABC = \triangle CNA}$ (Đã sửa lại đúng tên tam giác trong chứng minh).b) Chứng minh A là trung điểm của MNTừ kết quả chứng minh trên:$ABMC$ là hình bình hành (Theo Bước 1.1)$\Rightarrow \mathbf{AM = BC}$ (Tính chất cạnh đối)$ABNC$ là hình bình hành (Theo Bước 1.2)$\Rightarrow \mathbf{AN = BC}$ (Tính chất cạnh đối)Từ (1) và (2), suy ra:$AM = AN$Vì $M$ và $N$ đều nằm trên đường thẳng $xy$, và $AM = AN$, nên $A$ nằm giữa $M$ và $N$.Vậy $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.