Chứng minh rằng: C = 2 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 +...+ 2 mũ 99 + 2 mũ 100 chia hết cho 50

Ta có: C = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99 + 2^100 Nhận thấy rằng: 2 + 2^2 = 2(1 + 2) = 2 × 3 = 6 Tương tự: 2^3 + 2^4 = 2^3(1 + 2) = 2^3 × 3 = 24 ... 2^99 + 2^100 = 2^99(1 + 2) = 2^99 × 3 Do đó, ta có thể viết lại C dưới dạng: C = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + ... + (2^99 + 2^100) = 6 + 24 + ... + 2^99 × 3 Mỗi số hạng trong dãy trên đều chia hết cho 6, do đó chúng cũng chia hết cho 2 và 3. Ta sẽ chứng minh rằng C chia hết cho 25. Xét các số hạng trong dãy: - Các số hạng đầu tiên: 6, 24, ..., 2^99 × 3 đều chia hết cho 2 và 3. - Ta cần chứng minh rằng tổng của các số hạng này chia hết cho 25. Ta có: 6 = 2 × 3 24 = 2^3 × 3 ... 2^99 × 3 = 2^99 × 3 Ta thấy rằng: 6 = 2 × 3 = 2 × (5 - 2) = 2 × 5 - 2 × 2 24 = 2^3 × 3 = 2^3 × (5 - 2) = 2^3 × 5 - 2^3 × 2 ... 2^99 × 3 = 2^99 × (5 - 2) = 2^99 × 5 - 2^99 × 2 Do đó, tổng của các số hạng này có dạng: C = (2 × 5 - 2 × 2) + (2^3 × 5 - 2^3 × 2) + ... + (2^99 × 5 - 2^99 × 2) = 2 × 5 + 2^3 × 5 + ... + 2^99 × 5 - (2 × 2 + 2^3 × 2 + ... + 2^99 × 2) = 5 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) - 2 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) = 5 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) - 2 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) = 3 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) Ta thấy rằng 3 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) chia hết cho 3 và 2 + 2^3 + ... + 2^99 chia hết cho 2. Do đó, 3 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) chia hết cho 6. Vì 6 chia hết cho 2 và 3, nên 3 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) chia hết cho 2 và 3. Do đó, 3 × (2 + 2^3 + ... + 2^99) chia hết cho 6 và 25. Vậy C chia hết cho 50.