giải cho tôi bài 22

Bài 22. Cho: - Xe (I) chuyển động thẳng nhanh dần đều với vận tốc đầu \(v_{1_0} = 5\,m/s\). - Xe (II) khởi hành tại B cách A 30 m, chuyển động nhanh dần đều không vận tốc đầu (\(v_{2_0} = 0\)) cùng hướng xe (I). - Khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe là 5 m. - Khối lượng các xe: \(m_1 = m_2 = 1000\,kg\). - Lực cản tác dụng lên mỗi xe bằng 1000 N. Yêu cầu: Tìm lực kéo của động cơ mỗi xe. --- **Phân tích và giải:** Gọi: - \(a_1\) là gia tốc của xe (I), - \(a_2\) là gia tốc của xe (II). Do xe (II) xuất phát từ B cách A 30 m, nên khoảng cách lúc đầu giữa hai xe là \(x_0 = 30\,m\). Xe (I) bắt đầu ở A với vận tốc \(v_{1_0} = 5\,m/s\), gia tốc \(a_1\). Xe (II) bắt đầu ở B với vận tốc \(v_{2_0} = 0\), gia tốc \(a_2\). Khoảng cách giữa hai xe tại thời điểm \(t\): \[ d(t) = x_0 + s_2(t) - s_1(t) \] Trong đó: - \(s_1(t) = v_{1_0} t + \frac{1}{2} a_1 t^2\), - \(s_2(t) = \frac{1}{2} a_2 t^2\). Khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe là 5 m, tức là tồn tại thời điểm \(t = t^*\) sao cho \(d(t^*) = 5\) và \(d(t)\) đạt cực tiểu tại \(t^*\). --- **Bước 1: Tìm thời điểm khoảng cách ngắn nhất** Để \(d(t)\) đạt cực tiểu tại \(t = t^*\), ta có đạo hàm \(d'(t^*) = 0\). Tính đạo hàm: \[ d'(t) = \frac{d}{dt} [x_0 + s_2(t) - s_1(t)] = 0 + v_2(t) - v_1(t) \] Vận tốc từng xe tại thời điểm \(t\): \[ v_1(t) = v_{1_0} + a_1 t \] \[ v_2(t) = a_2 t \] Do đó: \[ d'(t) = a_2 t - (v_{1_0} + a_1 t) = (a_2 - a_1) t - v_{1_0} \] Cực tiểu \(d(t)\) tại \(t = t^*\) thỏa mãn: \[ d'(t^*) = 0 \Rightarrow (a_2 - a_1) t^* - v_{1_0} = 0 \Rightarrow t^* = \frac{v_{1_0}}{a_2 - a_1} \] Lưu ý: Vì xe (II) khởi đầu chậm hơn xe (I), xe (II) phải có gia tốc lớn hơn xe (I) để rút ngắn khoảng cách, nên \(a_2 > a_1\). --- **Bước 2: Điều kiện khoảng cách tại thời điểm \(t^*\) là 5 m** \[ d(t^*) = x_0 + s_2(t^*) - s_1(t^*) = 5 \] Tính \(s_1(t^*)\) và \(s_2(t^*)\): \[ s_1(t^*) = v_{1_0} t^* + \frac{1}{2} a_1 (t^*)^2 \] \[ s_2(t^*) = \frac{1}{2} a_2 (t^*)^2 \] Thay vào: \[ 5 = 30 + \frac{1}{2} a_2 (t^*)^2 - \left(5 t^* + \frac{1}{2} a_1 (t^*)^2\right) \] \[ 5 = 30 + \frac{1}{2} (a_2 - a_1)(t^*)^2 - 5 t^* \] Sắp xếp: \[ \frac{1}{2} (a_2 - a_1)(t^*)^2 - 5 t^* + 25 = 0 \] Nhớ rằng \(t^* = \frac{5}{a_2 - a_1}\), thay vào: \[ \frac{1}{2} (a_2 - a_1) \left( \frac{5}{a_2 - a_1} \right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{a_2 - a_1} + 25 = 0 \] Tính từng phần: \[ \frac{1}{2} (a_2 - a_1) \cdot \frac{25}{(a_2 - a_1)^2} - \frac{25}{a_2 - a_1} + 25 = 0 \] \[ \frac{25}{2(a_2 - a_1)} - \frac{25}{a_2 - a_1} + 25 = 0 \] \[ \left( \frac{25}{2} - 25 \right) \frac{1}{a_2 - a_1} + 25 = 0 \] \[ - \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{a_2 - a_1} + 25 = 0 \] \[ 25 = \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{a_2 - a_1} \Rightarrow \frac{1}{a_2 - a_1} = \frac{25}{25/2} = 2 \] \[ a_2 - a_1 = \frac{1}{2} = 0.5\,m/s^2 \] --- **Bước 3: Tính lực kéo động cơ mỗi xe** Đối với xe (I): - Tổng lực tác dụng là: \(F_1 - F_c = m a_1\), trong đó \(F_c = 1000\,N\) là lực cản. \[ F_1 = m a_1 + F_c \] Tương tự xe (II): \[ F_2 = m a_2 + F_c \] Ta biết \(a_2 - a_1 = 0.5\). Nhưng chưa biết \(a_1, a_2\) riêng biệt. --- **Bước 4: Xét thêm điều kiện hợp lý về gia tốc** Xe (I) có vận tốc đầu \(v_{1_0} = 5\,m/s\), xe (II) vận tốc đầu 0. Xe (II) phải tăng gia tốc hơn xe (I) để rút ngắn khoảng cách. Giả sử \(a_1 = a\), \(a_2 = a + 0.5\). Thời gian khoảng cách ngắn nhất: \[ t^* = \frac{v_{1_0}}{a_2 - a_1} = \frac{5}{0.5} = 10\,s \] --- **Bước 5: Kiểm tra vận tốc xe (II) tại thời điểm \(t^*\)** Vận tốc xe (II): \[ v_2(t^*) = a_2 t^* = (a + 0.5) \times 10 = 10 a + 5 \] Vận tốc xe (I): \[ v_1(t^*) = v_{1_0} + a_1 t^* = 5 + a \times 10 = 5 + 10 a \] Hai vận tốc bằng nhau tại điểm cực tiểu khoảng cách: \[ v_2(t^*) = v_1(t^*) \Rightarrow 10 a + 5 = 5 + 10 a \] Điều này đúng với mọi \(a\). Không cung cấp thêm thông tin. --- **Bước 6: Xét điều kiện lực kéo** Lực kéo của xe (I): \[ F_1 = 1000 \times a + 1000 = 1000 a + 1000 \] Lực kéo của xe (II): \[ F_2 = 1000 \times (a + 0.5) + 1000 = 1000 a + 1500 \] --- **Bước 7: Lựa chọn giá trị gia tốc** Có thể chọn gia tốc của xe (I) là 0 (để đơn giản). Khi đó: \[ a_1 = 0\,m/s^2, \quad a_2 = 0.5\,m/s^2 \] Kiểm tra thời gian cực tiểu: \[ t^* = \frac{5}{0.5} = 10\,s \] Khoảng cách tại \(t^*\): \[ d(t^*) = 30 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times 100 - (5 \times 10 + 0) = 30 + 25 - 50 = 5\,m \] Thỏa mãn. Lực kéo: \[ F_1 = 1000 \times 0 + 1000 = 1000\,N \] \[ F_2 = 1000 \times 0.5 + 1000 = 1500\,N \] --- **Kết luận:** - Gia tốc xe (I): \(a_1 = 0\,m/s^2\), lực kéo \(F_1 = 1000\,N\). - Gia tốc xe (II): \(a_2 = 0.5\,m/s^2\), lực kéo \(F_2 = 1500\,N\). --- **Đáp số:** - Lực kéo của động cơ xe (I): \(F_1 = 1000\,N\). - Lực kéo của động cơ xe (II): \(F_2 = 1500\,N\).