giải giúp ạ

Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của biểu thức đã cho. Biểu thức $\Rightarrow(-5)^2,4)^2$ có vẻ như bị viết sai hoặc không rõ ràng. Tuy nhiên, tôi sẽ giả định rằng bạn muốn tính giá trị của biểu thức $(-5)^2$ và $4^2$. Bước 1: Tính $(-5)^2$ Khi tính $(-5)^2$, chúng ta cần nhớ rằng dấu ngoặc đơn có ý nghĩa quan trọng. Biểu thức này có nghĩa là lấy số $-5$ và nhân với chính nó: \[ (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25 \] Bước 2: Tính $4^2$ Tương tự, $4^2$ có nghĩa là lấy số $4$ và nhân với chính nó: \[ 4^2 = 4 \times 4 = 16 \] Kết luận Vậy, giá trị của $(-5)^2$ là 25 và giá trị của $4^2$ là 16. Nếu bạn có ý định khác với biểu thức ban đầu, vui lòng cung cấp thêm thông tin để tôi có thể giúp bạn chính xác hơn. Câu 44: Để tìm phương trình của mặt cầu (S), ta cần xác định bán kính của mặt cầu. Mặt cầu (S) có tâm $I(0;0;-3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):~2x-2y-z+12=0$. Bán kính của mặt cầu chính là khoảng cách từ tâm $I(0;0;-3)$ đến mặt phẳng $(P)$. Công thức tính khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng công thức này cho điểm $I(0;0;-3)$ và mặt phẳng $(P)$, ta có: - $A = 2$, $B = -2$, $C = -1$, $D = 12$ - $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = -3$ Tính khoảng cách: \[ d = \frac{|2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 1 \cdot (-3) + 12|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 + 12|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{15}{3} = 5 \] Vậy bán kính của mặt cầu là 5. Phương trình của mặt cầu có tâm $I(0;0;-3)$ và bán kính $r = 5$ là: \[ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z + 3)^2 = 5^2 \] Hay: \[ x^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 25 \] Do đó, phương trình của mặt cầu (S) là $x^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 25$. Vậy đáp án đúng là A. Câu 45: Để tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\), ta cần tìm tâm và bán kính của mặt cầu sao cho mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh \(A, B, C, D\). Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 \] với \((x_0, y_0, z_0)\) là tâm của mặt cầu và \(R\) là bán kính. Mặt cầu đi qua điểm \(A(3, 4, 0)\), do đó: \[ (3 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + (0 - z_0)^2 = R^2 \] Mặt cầu đi qua điểm \(B(2, 5, 4)\), do đó: \[ (2 - x_0)^2 + (5 - y_0)^2 + (4 - z_0)^2 = R^2 \] Mặt cầu đi qua điểm \(C(-1, 1, 1)\), do đó: \[ (-1 - x_0)^2 + (1 - y_0)^2 + (1 - z_0)^2 = R^2 \] Mặt cầu đi qua điểm \(D(3, 5, 3)\), do đó: \[ (3 - x_0)^2 + (5 - y_0)^2 + (3 - z_0)^2 = R^2 \] Từ bốn phương trình trên, ta có hệ phương trình: 1. \((3 - x_0)^2 + (4 - y_0)^2 + z_0^2 = R^2\) 2. \((2 - x_0)^2 + (5 - y_0)^2 + (4 - z_0)^2 = R^2\) 3. \((-1 - x_0)^2 + (1 - y_0)^2 + (1 - z_0)^2 = R^2\) 4. \((3 - x_0)^2 + (5 - y_0)^2 + (3 - z_0)^2 = R^2\) Giải hệ phương trình này để tìm \((x_0, y_0, z_0)\) và \(R\). Bằng cách giải hệ phương trình trên, ta tìm được: - Tâm của mặt cầu là \((x_0, y_0, z_0) = (1, 3, 2)\) - Bán kính \(R = 3\) Do đó, phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là: \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 9 \] Vậy đáp án đúng là \(D.~(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=9.\) Câu 46: Để xác định có bao nhiêu điểm trong số các điểm đã cho nằm trên mặt cầu (S), ta cần kiểm tra xem các điểm này có thỏa mãn phương trình của mặt cầu hay không. Phương trình của mặt cầu (S) là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = 0. \] Trước tiên, ta đưa phương trình này về dạng chính tắc của mặt cầu. Ta nhóm các biến và hoàn thành bình phương: 1. Nhóm và hoàn thành bình phương cho \(x\): \[ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1. \] 2. Nhóm và hoàn thành bình phương cho \(y\): \[ y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4. \] 3. Nhóm và hoàn thành bình phương cho \(z\): \[ z^2 - 6z = (z-3)^2 - 9. \] Thay các biểu thức hoàn thành bình phương vào phương trình mặt cầu, ta có: \[ (x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 = 0. \] Rút gọn phương trình: \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 14. \] Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I(1, 2, 3)\) và bán kính \(R = \sqrt{14}\). Bây giờ, ta kiểm tra từng điểm: 1. Điểm \(A(0, 0, 0)\): \[ (0-1)^2 + (0-2)^2 + (0-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14. \] Điểm \(A\) nằm trên mặt cầu. 2. Điểm \(B(1, 2, 3)\): \[ (1-1)^2 + (2-2)^2 + (3-3)^2 = 0 + 0 + 0 = 0. \] Điểm \(B\) nằm trên mặt cầu. 3. Điểm \(C(2, 0, 6)\): \[ (2-1)^2 + (0-2)^2 + (6-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14. \] Điểm \(C\) nằm trên mặt cầu. Kết luận: Cả ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) đều nằm trên mặt cầu (S). Do đó, có 3 điểm nằm trên mặt cầu. Đáp án: B. 3. Câu 47: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích vị trí tương đối của hai mặt cầu đã cho. Bước 1: Xác định tâm và bán kính của hai mặt cầu 1. Mặt cầu \((S_1): (x-3)^2 + y^2 + z^2 = 9\) - Tâm \(I_1(3, 0, 0)\) - Bán kính \(R_1 = \sqrt{9} = 3\) 2. Mặt cầu \((S_2): (x+2)^2 + y^2 + z^2 = 4\) - Tâm \(I_2(-2, 0, 0)\) - Bán kính \(R_2 = \sqrt{4} = 2\) Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai tâm Khoảng cách giữa hai tâm \(I_1\) và \(I_2\) là: \[ d = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2} = \sqrt{5^2} = 5 \] Bước 3: Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu - Tổng bán kính: \(R_1 + R_2 = 3 + 2 = 5\) - Hiệu bán kính: \(|R_1 - R_2| = |3 - 2| = 1\) So sánh khoảng cách \(d\) với tổng và hiệu bán kính: - \(d = R_1 + R_2 = 5\) - \(d > |R_1 - R_2| = 1\) Vì \(d = R_1 + R_2\), hai mặt cầu tiếp xúc ngoài. Kết luận: Khẳng định đúng là: A. Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài. Câu 48: Để giải bài toán này, ta cần tìm tập hợp các điểm \( M(x, y, z) \) thỏa mãn điều kiện đã cho và xác định bán kính của đường tròn cố định. Bước 1: Điều kiện xác định của điểm \( M \) trên mặt cầu Điểm \( M \) thuộc mặt cầu \((S)\) có phương trình: \[ (x-3)^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = 9 \] Bước 2: Tính toán biểu thức \( MA^2 + 2\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} \) - Tính \( MA^2 \): \[ MA^2 = (x-1)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x-1)^2 + y^2 + z^2 \] - Tính \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MC}\): \[ \overrightarrow{MB} = (x-2, y-1, z-3) \] \[ \overrightarrow{MC} = (x-0, y-2, z+3) \] - Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} \): \[ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = (x-2)x + (y-1)(y-2) + (z-3)(z+3) \] \[ = x^2 - 2x + y^2 - 2y - y + 2 + z^2 - 9 \] \[ = x^2 - 2x + y^2 - 3y + z^2 - 9 \] - Biểu thức cần tính: \[ MA^2 + 2\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = (x-1)^2 + y^2 + z^2 + 2(x^2 - 2x + y^2 - 3y + z^2 - 9) \] \[ = (x-1)^2 + y^2 + z^2 + 2x^2 - 4x + 2y^2 - 6y + 2z^2 - 18 \] \[ = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x - 6y - 18 \] Bước 3: Giải phương trình Theo đề bài, ta có: \[ MA^2 + 2\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = 8 \] \[ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x - 6y - 18 = 8 \] \[ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x - 6y = 26 \] \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y = \frac{26}{3} \] Bước 4: Chuyển về phương trình đường tròn Ta hoàn thành bình phương: \[ (x-1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = \frac{26}{3} + 1 + 1 = \frac{32}{3} \] Phương trình này biểu diễn một mặt cầu với tâm \((1, 1, 0)\) và bán kính: \[ r = \sqrt{\frac{32}{3}} \] Bước 5: Tìm bán kính của đường tròn Do điểm \( M \) thuộc mặt cầu \((S)\) và thỏa mãn điều kiện trên, tập hợp các điểm \( M \) là giao của hai mặt cầu, tạo thành một đường tròn. Bán kính của đường tròn này là: \[ r = \sqrt{9 - \left(\frac{32}{3} - 9\right)} = \sqrt{6} \] Vậy bán kính của đường tròn cố định là \(\sqrt{6}\). Đáp án: A. \( r = \sqrt{6} \). Câu 49: Để xét tính đúng-sai của các khẳng định, ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. a) Khẳng định a: - Cho điểm \( A(2;0;1) \) và phương trình mặt cầu \((S): (x+2)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1\). - Phương trình này có tâm là \( A'(-2;0;1) \) và bán kính \( R = \sqrt{1} = 1 \). - Để mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng \( (Oxy) \), khoảng cách từ tâm \( A' \) đến mặt phẳng \( (Oxy) \) phải bằng bán kính. - Khoảng cách từ \( A'(-2;0;1) \) đến mặt phẳng \( (Oxy) \) là \(|1| = 1\). - Do đó, khẳng định a là đúng. b) Khẳng định b: - Cho mặt cầu \((S)\) có đường kính \( AB \) với \( A(2;0;-1) \) và \( B(0;-2;3) \). - Trung điểm của \( AB \) là \( M(1;-1;1) \). - Bán kính \( R = \frac{1}{2} \times \sqrt{(2-0)^2 + (0+2)^2 + (-1-3)^2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{4 + 4 + 16} = \frac{1}{2} \times \sqrt{24} = \sqrt{6} \). - Phương trình mặt cầu là \((x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-1)^2 = 6\). - Khẳng định b là đúng. c) Khẳng định c: - Phương trình mặt cầu \((S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = 0\). - Viết lại dưới dạng \((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 14\). - Tâm \( C(1;2;3) \), bán kính \( R = \sqrt{14} \). - Kiểm tra các điểm: - Điểm \( (0;0;0) \): \((0-1)^2 + (0-2)^2 + (0-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14\), nằm trên mặt cầu. - Điểm \( (1;2;3) \): \((1-1)^2 + (2-2)^2 + (3-3)^2 = 0\), nằm trên mặt cầu. - Điểm \( (2;0;6) \): \((2-1)^2 + (0-2)^2 + (6-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14\), nằm trên mặt cầu. - Khẳng định c là đúng. d) Khẳng định d: - Tâm quả cầu nhựa là \( (12;20;50) \). - Mặt ngoài của quả cầu có phương trình \((x-12)^2 + (y-20)^2 + (z-50)^2 = 50^2\). - Quả cầu nằm trên mặt phẳng \( Oxy \), tức là tiếp xúc với mặt phẳng \( z = 0 \). - Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng \( z = 0 \) là \( 50 \), bằng bán kính. - Khẳng định d là đúng. Tóm lại, tất cả các khẳng định a, b, c, d đều đúng. Câu 50: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. a) Khẳng định: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \((S):~(x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=16\) đi qua \(P(2;1;0)\). - Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2, 1, -3)\) và bán kính \(R = \sqrt{16} = 4\). - Điểm \(P(2, 1, 0)\) có tọa độ \(x = 2\), \(y = 1\), \(z = 0\). - Ta kiểm tra xem điểm \(P\) có nằm trên mặt cầu hay không bằng cách thay tọa độ của \(P\) vào phương trình mặt cầu: \[ (2-2)^2 + (1-1)^2 + (0+3)^2 = 0 + 0 + 9 = 9 \] - Vì \(9 \neq 16\), nên điểm \(P(2, 1, 0)\) không nằm trên mặt cầu \((S)\). Khẳng định a) là sai. b) Khẳng định: Trong không gian Oxyz, gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \((S):~x^2+y^2+z^2+2x-4z-1=0\). Độ dài đoạn \(OI\) (với \(O\) là gốc tọa độ) bằng 5. - Phương trình mặt cầu \((S)\) có dạng: \[ x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4z - 1 = 0 \] - Ta đưa phương trình về dạng chuẩn \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\). - Hoàn thành bình phương: \[ (x^2 + 2x) + y^2 + (z^2 - 4z) = 1 \] \[ (x+1)^2 - 1 + y^2 + (z-2)^2 - 4 = 1 \] \[ (x+1)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 6 \] - Từ đó, ta xác định được tâm \(I(-1, 0, 2)\) và bán kính \(R = \sqrt{6}\). - Độ dài đoạn \(OI\) là: \[ OI = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5} \] - Độ dài đoạn \(OI\) không bằng 5. Khẳng định b) là sai.