Giải giúp toio

Câu 12: Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(2, 3, 5) \) và chứa trục \( Ox \), ta cần xác định các yếu tố sau: 1. Điều kiện chứa trục \( Ox \): Mặt phẳng chứa trục \( Ox \) thì phương trình của nó không có thành phần \( x \). Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng \( by + cz = 0 \). 2. Điều kiện đi qua điểm \( A(2, 3, 5) \): Thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình mặt phẳng \( by + cz = 0 \), ta có: \[ b \cdot 3 + c \cdot 5 = 0 \] Từ đó, ta suy ra: \[ 3b + 5c = 0 \] 3. Giải hệ phương trình: Từ phương trình \( 3b + 5c = 0 \), ta có thể chọn \( b = 5 \) và \( c = -3 \) để thỏa mãn điều kiện này. Khi đó, phương trình mặt phẳng là: \[ 5y - 3z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \( 5y - 3z = 0 \). Do đó, đáp án đúng là \( D. (\alpha): 5y - 3z = 0 \). Câu 13: Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết. Bài toán 1: Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho điểm \( A(-3;1;2) \). Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua A và chứa trục Oy. Giải: - Mặt phẳng chứa trục Oy có dạng \( x = 0 \) hoặc \( z = 0 \) hoặc một phương trình không chứa \( y \). - Vì mặt phẳng đi qua điểm \( A(-3;1;2) \), nên phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz = d \). - Do mặt phẳng chứa trục Oy, nên \( a = 0 \) và \( c \neq 0 \). - Thay tọa độ điểm \( A \) vào phương trình, ta có: \( -3a + 1b + 2c = d \). - Chọn \( a = 2 \), \( c = 3 \), ta có phương trình: \( 2x + 3z = 0 \). Đáp án: D. \((\alpha): 2x + 3z = 0\). Bài toán 2: Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho điểm \( A(2;4;-5) \). Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua A và chứa trục Oz. Giải: - Mặt phẳng chứa trục Oz có dạng \( x = 0 \) hoặc \( y = 0 \) hoặc một phương trình không chứa \( z \). - Vì mặt phẳng đi qua điểm \( A(2;4;-5) \), nên phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz = d \). - Do mặt phẳng chứa trục Oz, nên \( c = 0 \). - Thay tọa độ điểm \( A \) vào phương trình, ta có: \( 2a + 4b = d \). - Chọn \( a = 1 \), \( b = -2 \), ta có phương trình: \( x - 2y = 0 \). Đáp án: A. \((\alpha): x - 2y = 0\). Bài toán 3: Đề bài: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng \((P): x+2y-2z+1=0\) và (Q) cách điểm \( M(1;-2;1) \) một khoảng bằng 3. Giải: - Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có dạng: \( x + 2y - 2z + d = 0 \). - Khoảng cách từ điểm \( M(1;-2;1) \) đến mặt phẳng (Q) là 3: \[ \frac{|1 + 2(-2) - 2(1) + d|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = 3 \] \[ \frac{|1 - 4 - 2 + d|}{3} = 3 \] \[ |d - 5| = 9 \] \[ d - 5 = 9 \quad \text{hoặc} \quad d - 5 = -9 \] \[ d = 14 \quad \text{hoặc} \quad d = -4 \] Đáp án: C. \( x + 2y - 2z - 14 = 0; x + 2y - 2z - 4 = 0 \). Bài toán 4: Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho điểm \( B(1;-1;0), C(2;-1;-1), M(-2;1;3) \). Mặt phẳng (P) vuông góc với BC và cách M một khoảng bằng \(\sqrt{2}\). Giải: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là \( \overrightarrow{BC} = (1, 0, -1) \). - Mặt phẳng (P) vuông góc với BC nên có dạng: \( x - z + d = 0 \). - Khoảng cách từ điểm \( M(-2;1;3) \) đến mặt phẳng (P) là \(\sqrt{2}\): \[ \frac{|-2 - 3 + d|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2} \] \[ \frac{|d - 5|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] \[ |d - 5| = 2 \] \[ d - 5 = 2 \quad \text{hoặc} \quad d - 5 = -2 \] \[ d = 7 \quad \text{hoặc} \quad d = 3 \] Đáp án: A. \( x - z - 7 = 0; x - z - 3 = 0 \). Bài toán 5: Đề bài: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \((\alpha)\) qua hai điểm \( C(2;1;6), D(3;5;1) \) và cách đều hai điểm \( A(6;4;0), B(4;5;0) \). Giải: - Vectơ chỉ phương của CD là \( \overrightarrow{CD} = (1, 4, -5) \). - Mặt phẳng \((\alpha)\) có dạng: \( ax + by + cz = d \). - Mặt phẳng cách đều hai điểm \( A \) và \( B \) nên: \[ \frac{|6a + 4b + 0c - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|4a + 5b + 0c - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] \[ |6a + 4b - d| = |4a + 5b - d| \] \[ 6a + 4b - d = 4a + 5b - d \quad \text{hoặc} \quad 6a + 4b - d = -(4a + 5b - d) \] \[ 2a - b = 0 \quad \text{hoặc} \quad 10a + 9b = 0 \] - Chọn \( a = 5, b = 10, c = 9 \), ta có phương trình: \( 5x + 10y + 9z - 74 = 0 \). Đáp án: C. \( 5x + 10y + 9z - 74 = 0; 13x + 18y + 15z - 134 = 0 \). Bài toán 6: Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3), \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\) khác 0. Tích có hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(\overrightarrow{c}\). Giải: - Tích có hướng \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)\). Đáp án: A. \(\overrightarrow{c} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)\). Bài toán 7: Đề bài: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây nhận \(\overrightarrow{n}=(3;1;-7)\) là một vectơ pháp tuyến? Giải: - Mặt phẳng có dạng \( 3x + y - 7z + d = 0 \). Đáp án: D. \( 3x + y - 7z - 3 = 0 \). Bài toán 8: Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P): 3x-2z+2=0\) đi qua điểm nào sau đây? Giải: - Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng: - \( B(4;2;1) \): \( 3(4) - 2(1) + 2 = 12 - 2 + 2 = 12 \neq 0 \). - \( A(1;2;4) \): \( 3(1) - 2(4) + 2 = 3 - 8 + 2 = -3 \neq 0 \). - \( D(2;1;4) \): \( 3(2) - 2(4) + 2 = 6 - 8 + 2 = 0 \). - \( C(2;4;-1) \): \( 3(2) - 2(-1) + 2 = 6 + 2 + 2 = 10 \neq 0 \). Đáp án: C. \( D(2;1;4) \). Bài toán 9: Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho điểm \( A(1;2;3) \). Mặt phẳng chứa điểm A và trục Oz có phương trình nào? Giải: - Mặt phẳng chứa trục Oz có dạng \( ax + by = 0 \). - Thay tọa độ điểm \( A \) vào phương trình, ta có: \( a(1) + b(2) = 0 \). - Chọn \( a = 2, b = -1 \), ta có phương trình: \( 2x - y = 0 \). Đáp án: A. \( 2x - y = 0 \). Bài toán 10: Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho điểm \( A(2;-1;-3) \) và mặt phẳng \((P): 3x-2y+4z-5=0\). Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P). Giải: - Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có dạng: \( 3x - 2y + 4z + d = 0 \). - Thay tọa độ điểm \( A \) vào phương trình, ta có: \( 3(2) - 2(-1) + 4(-3) + d = 0 \). - \( 6 + 2 - 12 + d = 0 \). - \( d = 4 \). Đáp án: A. \( 3x - 2y + 4z + 4 = 0 \).