Giải chi tiết

Câu 35: Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( M(2; -1; 4) \) và song song với mặt phẳng \((P): 3x - 2y + z + 1 = 0\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(3x - 2y + z + 1 = 0\), do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (3, -2, 1)\). 2. Phương trình mặt phẳng song song với \((P)\): Mặt phẳng song song với \((P)\) sẽ có cùng vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (3, -2, 1)\). Do đó, phương trình tổng quát của mặt phẳng song song với \((P)\) có dạng: \[ 3x - 2y + z + D = 0 \] với \(D\) là hằng số cần xác định. 3. Thay tọa độ điểm \(M(2; -1; 4)\) vào phương trình mặt phẳng: Vì mặt phẳng cần tìm đi qua điểm \(M(2; -1; 4)\), ta thay tọa độ của \(M\) vào phương trình: \[ 3(2) - 2(-1) + 4 + D = 0 \] \[ 6 + 2 + 4 + D = 0 \] \[ 12 + D = 0 \] \[ D = -12 \] 4. Phương trình mặt phẳng cần tìm: Thay \(D = -12\) vào phương trình tổng quát, ta được phương trình của mặt phẳng cần tìm là: \[ 3x - 2y + z - 12 = 0 \] Do đó, phương trình của mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \((P)\) là \(3x - 2y + z - 12 = 0\). Đáp án đúng là \(B.~3x-2y+z-12=0\). Câu 36: Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm \( M(-2;0;0) \), \( N(0;-1;0) \), và \( P(0;0;3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Để tìm vectơ pháp tuyến, ta cần tìm tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đi qua các cặp điểm trong ba điểm đã cho. Chọn hai vectơ: \[ \overrightarrow{MN} = (0 - (-2), -1 - 0, 0 - 0) = (2, -1, 0) \] \[ \overrightarrow{MP} = (0 - (-2), 0 - 0, 3 - 0) = (2, 0, 3) \] Tích có hướng của \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MP}\) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ \end{vmatrix} \] Tính định thức: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}((-1)\cdot3 - 0\cdot0) - \mathbf{j}(2\cdot3 - 0\cdot2) + \mathbf{k}(2\cdot0 - (-1)\cdot2) \] \[ = \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(2) \] \[ = (-3, -6, 2) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \((-3, -6, 2)\). 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] với \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến. Thay \((-3, -6, 2)\) vào, ta có: \[ -3x - 6y + 2z + d = 0 \] 3. Tìm \(d\) bằng cách thay tọa độ một trong ba điểm vào phương trình: Thay điểm \(M(-2, 0, 0)\) vào phương trình: \[ -3(-2) - 6(0) + 2(0) + d = 0 \] \[ 6 + d = 0 \Rightarrow d = -6 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -3x - 6y + 2z - 6 = 0 \] Để phù hợp với các đáp án đã cho, nhân cả hai vế với \(-1\): \[ 3x + 6y - 2z + 6 = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là \(3x + 6y - 2z + 6 = 0\). Đáp án đúng là D. Câu 37: Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm \( A(-1, 1, 3) \), \( B(2, -1, 3) \), và \( C(2, 2, -1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Đầu tiên, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) bằng cách lấy hiệu tọa độ của các điểm: - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (2 - (-1), -1 - 1, 3 - 3) = (3, -2, 0)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = (2 - (-1), 2 - 1, -1 - 3) = (3, 1, -4)\). Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (P) là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -4 \\ \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}((-2)(-4) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(3 \cdot (-4) - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 - (-2) \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(8) - \mathbf{j}(-12) + \mathbf{k}(3 + 6) \] \[ = (8, 12, 9) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \((8, 12, 9)\). 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 8x + 12y + 9z + D = 0 \] Thay tọa độ điểm \(A(-1, 1, 3)\) vào phương trình để tìm \(D\): \[ 8(-1) + 12(1) + 9(3) + D = 0 \] \[ -8 + 12 + 27 + D = 0 \] \[ 31 + D = 0 \Rightarrow D = -31 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 8x + 12y + 9z - 31 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là \(A. ~8x + 12y + 9z - 31 = 0\). Câu 38: Để tìm phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua hai điểm \(A(2;-1;0)\), \(B(1;1;2)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Q): x+y+2z-3=0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\): Mặt phẳng \((Q)\) có phương trình \(x+y+2z-3=0\), do đó vectơ pháp tuyến của \((Q)\) là \(\overrightarrow{n_Q} = (1, 1, 2)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\): Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(2;-1;0)\) và \(B(1;1;2)\) là: \[ \overrightarrow{AB} = (1-2, 1+1, 2-0) = (-1, 2, 2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\), do đó vectơ pháp tuyến của \((P)\) phải vuông góc với \(\overrightarrow{n_Q} = (1, 1, 2)\). Đồng thời, \((P)\) chứa đường thẳng \(AB\), nên vectơ pháp tuyến của \((P)\) cũng phải vuông góc với \(\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 2)\). Để tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_P}\) của \((P)\), ta cần tìm tích có hướng của \(\overrightarrow{n_Q}\) và \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{n_P} = \overrightarrow{n_Q} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n_P} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) \] \[ = \mathbf{i}(2 - 4) - \mathbf{j}(2 + 2) + \mathbf{k}(2 + 1) \] \[ = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(3) \] \[ = (-2, -4, 3) \] 4. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(2;-1;0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_P} = (-2, -4, 3)\), do đó phương trình của \((P)\) là: \[ -2(x - 2) - 4(y + 1) + 3(z - 0) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -2x + 4 - 4y - 4 + 3z = 0 \] \[ -2x - 4y + 3z = 0 \] Nhân cả hai vế với \(-1\) để có dạng chuẩn: \[ 2x + 4y - 3z = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(2x + 4y - 3z = 0\). Vậy đáp án đúng là \(B\). Câu 39: Để tìm phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2;1;-2)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((Q)\) và \((R)\), ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của \((P)\). 1. Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((Q)\) và \((R)\): - Mặt phẳng \((Q): x + y + 2z - 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_Q} = (1, 1, 2)\). - Mặt phẳng \((R): x - y - z + 4 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_R} = (1, -1, -1)\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với cả hai mặt phẳng \((Q)\) và \((R)\), do đó vectơ pháp tuyến của \((P)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow{n_Q}\) và \(\overrightarrow{n_R}\). \[ \overrightarrow{n_P} = \overrightarrow{n_Q} \times \overrightarrow{n_R} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n_P} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(-1 + 2) - \mathbf{j}(-1 - 2) + \mathbf{k}(-1 - 1) \] \[ = \mathbf{i}(1) + \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(-2) \] \[ = (1, 3, -2) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\): Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(1(x - 2) + 3(y - 1) - 2(z + 2) = 0\). \[ \Rightarrow x - 2 + 3y - 3 - 2z - 4 = 0 \] \[ \Rightarrow x + 3y - 2z - 9 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(x + 3y - 2z - 9 = 0\). Đáp án đúng là \(C.~x+3y-2z-9=0.\) Câu 40: Để tìm phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) có phương trình: \(x - 2y + z - 8 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\vec{n}_Q = (1, -2, 1)\). 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) nên vectơ pháp tuyến của (P) phải vuông góc với \(\vec{n}_Q\). Giả sử vectơ pháp tuyến của (P) là \(\vec{n}_P = (a, b, c)\). Điều kiện vuông góc: \(\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0\). \[ a \cdot 1 + b \cdot (-2) + c \cdot 1 = 0 \implies a - 2b + c = 0. \] 3. Điều kiện song song với trục Oy: Mặt phẳng (P) song song với trục Oy nên vectơ pháp tuyến của (P) không có thành phần theo trục Oy, tức là \(b = 0\). 4. Tìm phương trình mặt phẳng (P): Từ \(a - 2b + c = 0\) và \(b = 0\), ta có: \[ a + c = 0 \implies c = -a. \] Vậy vectơ pháp tuyến của (P) có dạng \((a, 0, -a)\). Chọn \(a = 1\), ta có \(\vec{n}_P = (1, 0, -1)\). 5. Phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(N(2, 1, -2)\) nên có phương trình: \[ 1 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - 1) - 1 \cdot (z + 2) = 0. \] \[ x - 2 - z - 2 = 0 \implies x - z - 4 = 0. \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là \(x - z - 4 = 0\). Đáp án đúng là A. Câu 41: Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( A(-1, 0, 1) \) và vuông góc với đường thẳng \( AB \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( AB \): Vectơ chỉ phương của đường thẳng \( AB \) được xác định bởi hai điểm \( A \) và \( B \). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - 0, 0 - 1) = (3, 1, -1) \] 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng \( AB \), nên vectơ chỉ phương của \( AB \) cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Do đó, vectơ pháp tuyến của (P) là \( \overrightarrow{n} = (3, 1, -1) \). 3. Viết phương trình mặt phẳng (P): Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] với \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến. Ở đây, \( a = 3 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \). Thay tọa độ điểm \( A(-1, 0, 1) \) vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ 3(-1) + 1(0) - 1(1) + d = 0 \] \[ -3 - 1 + d = 0 \] \[ d = 4 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 3x + y - z + 4 = 0 \] 4. Kết luận: Phương trình mặt phẳng (P) là \( 3x + y - z + 4 = 0 \). Do đó, đáp án đúng là \( A. (P): 3x + y - z + 4 = 0 \). Câu 42: Để tìm phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(0;1;3)\) và song song với mặt phẳng \((Q): 2x - 3z + 2025 = 0\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\): Mặt phẳng \((Q)\) có phương trình \(2x - 3z + 2025 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_Q = (2, 0, -3)\). 2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Vì mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q)\), nên vectơ pháp tuyến của \((P)\) cũng là \(\vec{n}_P = (2, 0, -3)\). 3. Lập phương trình mặt phẳng \((P)\): Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng \(ax + by + cz + d = 0\). Với \(\vec{n}_P = (2, 0, -3)\), phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \[ 2x + 0y - 3z + d = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x - 3z + d = 0 \] 4. Tìm \(d\) bằng cách thay tọa độ điểm \(A(0;1;3)\) vào phương trình \((P)\): Thay \(x = 0\), \(y = 1\), \(z = 3\) vào phương trình: \[ 2(0) - 3(3) + d = 0 \quad \Rightarrow \quad -9 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 9 \] 5. Phương trình mặt phẳng \((P)\): Thay \(d = 9\) vào phương trình, ta được: \[ 2x - 3z + 9 = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(2x - 3z + 9 = 0\). Đáp án đúng là A. Câu 43: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của mặt phẳng (P) thỏa mãn các điều kiện đã cho. Bài toán 1: Yêu cầu: Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( B(2;1;-3) \) và vuông góc với hai mặt phẳng \( (Q): x+y+3z-5=0 \) và \( (R): 2x-y+z-1=0 \). Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (Q) \) là \( \vec{n}_Q = (1, 1, 3) \). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (R) \) là \( \vec{n}_R = (2, -1, 1) \). Mặt phẳng (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q) và (R), do đó vectơ pháp tuyến của (P) là tích có hướng của \( \vec{n}_Q \) và \( \vec{n}_R \). Bước 2: Tính tích có hướng \( \vec{n}_P = \vec{n}_Q \times \vec{n}_R \). \[ \vec{n}_P = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(1 + 3) - \mathbf{j}(1 - 6) + \mathbf{k}(-1 - 2) \] \[ = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \( \vec{n}_P = (4, 5, -3) \). Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( B(2, 1, -3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_P = (4, 5, -3) \), do đó phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ 4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z + 3) = 0 \] \[ 4x - 8 + 5y - 5 - 3z - 9 = 0 \] \[ 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là \( 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \). Đáp án: D. \( 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \). Bài toán 2: Yêu cầu: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm \( M(1, -1, 1) \) và \( N(2, 1, 2) \), đồng thời song song với trục \( Oz \). Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của mặt phẳng. - Vectơ chỉ phương của trục \( Oz \) là \( \vec{k} = (0, 0, 1) \). - Vectơ \( \vec{MN} = (2 - 1, 1 - (-1), 2 - 1) = (1, 2, 1) \). Mặt phẳng cần tìm song song với trục \( Oz \) và đi qua hai điểm \( M \) và \( N \), do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng phải vuông góc với cả \( \vec{MN} \) và \( \vec{k} \). Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Tích có hướng của \( \vec{MN} \) và \( \vec{k} \) là: \[ \vec{n} = \vec{MN} \times \vec{k} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) \] \[ = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k} \] Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \( \vec{n} = (2, -1, 0) \). Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng. Mặt phẳng đi qua điểm \( M(1, -1, 1) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (2, -1, 0) \), do đó phương trình của mặt phẳng là: \[ 2(x - 1) - 1(y + 1) + 0(z - 1) = 0 \] \[ 2x - 2 - y - 1 = 0 \] \[ 2x - y - 3 = 0 \] Đáp án: B. \( 2x - y - 3 = 0 \).