giải phương trình vi phân $1)~\frac{dy}{dx}=6x^2;y(l)=2$,$2)~(2x-4)dx=e^{-y}dy$,$3)~\frac{dx}{dt}=-6x;x=2$ khi $t=5$,$4)~(4x-2)^2dy=\sqrt ydx;y(1)=9$,$5)~y^\prime=e^{x-2y};y(0)=1$

Question

Accepted Answer

1) Ta có:
$\frac{dy}{dx}=6x^2$
$dy=6x^2dx$
Lấy tích phân hai vế ta được:
$y=\int 6x^2dx+C=x^3+C$
Thay $x=1,y=2$ vào biểu thức trên ta được $C=1$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $y=x^3+1$

2) Ta có:
$(2x-4)dx=e^{-y}dy$
$(2x-4)dx=e^{-y}dy$
Lấy tích phân hai vế ta được:
$\int (2x-4)dx=\int e^{-y}dy$
$x^2-4x+C=-e^{-y}$
$y=-\ln(-x^2+4x+C)$
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là $y=-\ln(-x^2+4x+C)$

3) Ta có:
$\frac{dx}{dt}=-6x$
$\frac{dx}{x}=-6dt$
Lấy tích phân hai vế ta được:
$\int \frac{dx}{x}=\int -6dt$
$\ln|x|=-6t+C$
$x=Ce^{-6t}$
Thay $x=2,t=5$ vào biểu thức trên ta được $C=2e^{30}$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=2e^{30-6t}$

4) Ta có:
$(4x-2)^2dy=\sqrt ydx$
$\frac{dy}{\sqrt y}=\frac{dx}{(4x-2)^2}$
Lấy tích phân hai vế ta được:
$\int \frac{dy}{\sqrt y}=\int \frac{dx}{(4x-2)^2}$
$2\sqrt y=\frac{-1}{4(4x-2)}+C$
$\sqrt y=\frac{-1}{8(4x-2)}+C$
$y=\left(\frac{-1}{8(4x-2)}+C\right)^2$
Thay $x=1,y=9$ vào biểu thức trên ta được $C=\frac{1}{2}$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $y=\left(\frac{-1}{8(4x-2)}+\frac{1}{2}\right)^2$

5) Ta có:
$y&#x27;=e^{x-2y}$
$e^{2y}dy=e^xdx$
Lấy tích phân hai vế ta được:
$\int e^{2y}dy=\int e^xdx$
$\frac{1}{2}e^{2y}=e^x+C$
$e^{2y}=2e^x+C$
$y=\frac{1}{2}\ln(2e^x+C)$
Thay $x=0,y=1$ vào biểu thức trên ta được $C=e^2-2$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $y=\frac{1}{2}\ln(2e^x+e^2-2)$