Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 12: Để thực hiện phép tính $\frac{-x-1}{3x+1}:\frac{x^2-1}{9x^2-1}$, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Phân tích các biểu thức thành nhân tử: - Biểu thức $\frac{x^2-1}{9x^2-1}$ có thể viết lại dưới dạng $\frac{(x-1)(x+1)}{(3x-1)(3x+1)}$. 2. Thực hiện phép chia phân số: - Chia hai phân số tức là nhân phân số đầu tiên với nghịch đảo của phân số thứ hai: \[ \frac{-x-1}{3x+1} : \frac{(x-1)(x+1)}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{-x-1}{3x+1} \cdot \frac{(3x-1)(3x+1)}{(x-1)(x+1)} \] 3. Rút gọn các nhân tử giống nhau: - Ta thấy $(3x+1)$ ở mẫu số của phân số đầu tiên và ở tử số của phân số thứ hai có thể rút gọn: \[ \frac{-x-1}{3x+1} \cdot \frac{(3x-1)(3x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{-x-1}{1} \cdot \frac{(3x-1)}{(x-1)(x+1)} \] - Tiếp tục rút gọn $(x+1)$ ở tử số của phân số đầu tiên và ở mẫu số của phân số thứ hai: \[ \frac{-x-1}{1} \cdot \frac{(3x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{-x-1}{1} \cdot \frac{(3x-1)}{(x-1)} \] 4. Viết lại kết quả cuối cùng: - Kết quả cuối cùng sau khi rút gọn là: \[ \frac{-x-1}{1} \cdot \frac{(3x-1)}{(x-1)} = \frac{-(x+1)}{1} \cdot \frac{(3x-1)}{(x-1)} = \frac{-(x+1)(3x-1)}{(x-1)} \] - Đơn giản hóa biểu thức: \[ \frac{-(x+1)(3x-1)}{(x-1)} = \frac{-(3x^2 - x + 3x - 1)}{(x-1)} = \frac{-(3x^2 + 2x - 1)}{(x-1)} \] - Cuối cùng, ta có: \[ \frac{-(3x^2 + 2x - 1)}{(x-1)} = \frac{1-3x}{x-1} \] Vậy kết quả của phép tính $\frac{-x-1}{3x+1}:\frac{x^2-1}{9x^2-1}$ là $\boxed{\frac{1-3x}{x-1}}$. Bàii1: a) Ta có $\frac{8x}{15y^3}.\frac{5y^2}{x^2}=\frac{8x.5y^2}{15y^3.x^2}=\frac{40xy^2}{15x^2y^3}=\frac{8}{3xy}.$ b) Ta có $\frac1{x-2}.\frac{2x-4}5=\frac{2x-4}{5(x-2)}=\frac{2(x-2)}{5(x-2)}=\frac25.$ c) Ta có $\frac{9x^2}{x+3}.\frac{3x+9}{6x^3}=\frac{9x^2(3x+9)}{(x+3)6x^3}=\frac{27x^3+81x^2}{6x^3+18x^3}=\frac{27x^2(x+3)}{24x^3}=\frac{9x^2}{8x^2}=\frac98.$ d) Ta có $\frac{2x-2}{x+1}:\frac{x-1}2=\frac{2x-2}{x+1}.\frac2{x-1}=\frac{2(x-1)}{x+1}.\frac2{x-1}=\frac4{x+1}.$ Bài 2: a) $\frac{x^2-9y^2}{x^2y}.\frac{3xy}{xz-3yz}$ Điều kiện xác định: $x \neq 0$, $z \neq 3y$. Ta có: $\frac{x^2-9y^2}{x^2y}.\frac{3xy}{xz-3yz} = \frac{(x-3y)(x+3y)}{x^2y}.\frac{3xy}{z(x-3y)} = \frac{(x-3y)(x+3y)}{x^2y}.\frac{3xy}{z(x-3y)} = \frac{3(x+3y)}{xz}$ b) $\frac{x+y}{x^2-2xy+y^2}.\frac{2x-2y}{x^2+2xy+y^2}$ Điều kiện xác định: $x \neq y$. Ta có: $\frac{x+y}{x^2-2xy+y^2}.\frac{2x-2y}{x^2+2xy+y^2} = \frac{x+y}{(x-y)^2}.\frac{2(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{2}{(x+y)(x-y)}$ c) $\frac{9x-9y}{x^2+2xy+y^2}.\frac{4x^3+4y^3}{3x-3y}$ Điều kiện xác định: $x \neq y$. Ta có: $\frac{9x-9y}{x^2+2xy+y^2}.\frac{4x^3+4y^3}{3x-3y} = \frac{9(x-y)}{(x+y)^2}.\frac{4(x^3+y^3)}{3(x-y)} = \frac{9(x-y)}{(x+y)^2}.\frac{4(x+y)(x^2-xy+y^2)}{3(x-y)} = \frac{12(x^2-xy+y^2)}{(x+y)^2}$ d) $\frac{x^2-25}{x^2+1}.(\frac{5x-1}{x^2+5x}+\frac{5x+1}{x^2-5x})$ Điều kiện xác định: $x \neq 0$, $x \neq 5$, $x \neq -5$. Ta có: $\frac{x^2-25}{x^2+1}.(\frac{5x-1}{x^2+5x}+\frac{5x+1}{x^2-5x}) = \frac{x^2-25}{x^2+1}.(\frac{5x-1}{x(x+5)}+\frac{5x+1}{x(x-5)}) = \frac{x^2-25}{x^2+1}.\frac{(5x-1)(x-5)+(5x+1)(x+5)}{x(x+5)(x-5)} = \frac{x^2-25}{x^2+1}.\frac{10x^2+10x-10x-25+25x+25}{x(x+5)(x-5)} = \frac{x^2-25}{x^2+1}.\frac{10x^2}{x(x+5)(x-5)} = \frac{10x(x^2-25)}{(x^2+1)(x+5)(x-5)} = \frac{10x(x-5)(x+5)}{(x^2+1)(x+5)(x-5)} = \frac{10x}{x^2+1}$ e) $\frac{1-9x^2}{x^2+4x}:\frac{2-6x}{3x}$ Điều kiện xác định: $x \neq 0$, $x \neq -4$, $x \neq \frac{1}{3}$. Ta có: $\frac{1-9x^2}{x^2+4x}:\frac{2-6x}{3x} = \frac{1-9x^2}{x^2+4x}.\frac{3x}{2-6x} = \frac{(1-3x)(1+3x)}{x(x+4)}.\frac{3x}{2(1-3x)} = \frac{3(1+3x)}{2(x+4)}$ f) $\frac{x-y}{x^2+xy+x+y}:\frac{y^2-xy+y-x}{x+y}$ Điều kiện xác định: $x \neq -y$, $x \neq y$. Ta có: $\frac{x-y}{x^2+xy+x+y}:\frac{y^2-xy+y-x}{x+y} = \frac{x-y}{x^2+xy+x+y}.\frac{x+y}{y^2-xy+y-x} = \frac{x-y}{x^2+xy+x+y}.\frac{x+y}{(y-x)(y+1)} = \frac{x-y}{x^2+xy+x+y}.\frac{x+y}{-(x-y)(y+1)} = \frac{-1}{(x^2+xy+x+y)(y+1)}$ Bài 3: a) Rút gọn K. Ta có: \[ K = \left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} + \frac{x^2-4x-1}{x^2-1} \right) \cdot \frac{x+2003}{x} \] Trước hết, ta rút gọn phần trong ngoặc: \[ \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} + \frac{x^2-4x-1}{x^2-1} \] Nhận thấy rằng \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \), nên ta viết lại các phân số dưới dạng chung: \[ \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2 + x^2 - 4x - 1}{(x-1)(x+1)} \] Tính tử số: \[ (x+1)^2 - (x-1)^2 + x^2 - 4x - 1 \] \[ = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) + x^2 - 4x - 1 \] \[ = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 + x^2 - 4x - 1 \] \[ = x^2 - 1 \] Vậy: \[ \frac{x^2 - 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = 1 \] Do đó: \[ K = 1 \cdot \frac{x+2003}{x} = \frac{x+2003}{x} \] b) Tìm các giá trị nguyên x để K nhận giá trị nguyên. Ta có: \[ K = \frac{x+2003}{x} = 1 + \frac{2003}{x} \] Để \( K \) nhận giá trị nguyên, \( \frac{2003}{x} \) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( x \) là ước của 2003. Các ước của 2003 là: \( \pm 1, \pm 2003 \). Kiểm tra các giá trị này: - \( x = 1 \): \( K = 1 + \frac{2003}{1} = 2004 \) - \( x = -1 \): \( K = 1 + \frac{2003}{-1} = -2002 \) - \( x = 2003 \): \( K = 1 + \frac{2003}{2003} = 2 \) - \( x = -2003 \): \( K = 1 + \frac{2003}{-2003} = 0 \) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( K \) nhận giá trị nguyên là: \( x = 1, -1, 2003, -2003 \). Bài 4: Phần a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P và rút gọn P Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( P \) có chứa các phân thức, do đó ta cần tìm điều kiện để mẫu số khác 0. 1. \( x + 3 \neq 0 \) \[ x \neq -3 \] 2. \( 3 - x \neq 0 \) x \neq 3 3. \( x^2 - 9 \neq 0 \) (x - 3)(x + 3) \neq 0 \quad \text{(sử dụng hằng đẳng thức)} x \neq 3 \quad \text{và} \quad x \neq -3 4. \( x - 3 \neq 0 \) Tóm lại, điều kiện xác định của biểu thức \( P \) là: \[ x \neq -3 \quad \text{và} \quad x \neq 3 \] Rút gọn biểu thức \( P \): Ta có: P = \left( \frac{2x-1}{x+3} - \frac{x}{3-x} - \frac{3-10x}{x^2-9} \right) : \frac{x+2}{x-3} Đầu tiên, ta sẽ viết lại \( \frac{x}{3-x} \) dưới dạng \( \frac{-x}{x-3} \): \frac{x}{3-x} = \frac{-x}{x-3} Tiếp theo, ta sẽ viết lại \( \frac{3-10x}{x^2-9} \) dưới dạng \( \frac{3-10x}{(x-3)(x+3)} \): \frac{3-10x}{x^2-9} = \frac{3-10x}{(x-3)(x+3)} Bây giờ, ta sẽ cộng các phân thức trong ngoặc: \frac{2x-1}{x+3} + \frac{-x}{x-3} - \frac{3-10x}{(x-3)(x+3)} Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số chung là \( (x-3)(x+3) \): \frac{(2x-1)(x-3) - x(x+3) - (3-10x)}{(x-3)(x+3)} Phân tích tử số: (2x-1)(x-3) = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3 -x(x+3) = -x^2 - 3x -(3-10x) = -3 + 10x Cộng tất cả lại: 2x^2 - 7x + 3 - x^2 - 3x - 3 + 10x = x^2 Do đó: \frac{x^2}{(x-3)(x+3)} Cuối cùng, ta chia cho \( \frac{x+2}{x-3} \): P = \frac{x^2}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{x+2} = \frac{x^2}{(x+3)(x+2)} Vậy, biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành: P = \frac{x^2}{(x+3)(x+2)} Phần b) Tính giá trị của \( P \) khi \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) Giải phương trình \( x^2 - 7x + 12 = 0 \): x^2 - 7x + 12 = 0 (x-3)(x-4) = 0 x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 Do \( x \neq 3 \), ta chọn \( x = 4 \): P = \frac{4^2}{(4+3)(4+2)} = \frac{16}{7 \cdot 6} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21} Phần c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên dương Để \( P \) có giá trị nguyên dương, \( x^2 \) phải chia hết cho \( (x+3)(x+2) \). Kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq -3 \) và \( x \neq 3 \): 1. \( x = 1 \): P = \frac{1^2}{(1+3)(1+2)} = \frac{1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{12} \quad \text{(không nguyên)} 2. \( x = 2 \): P = \frac{2^2}{(2+3)(2+2)} = \frac{4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \quad \text{(không nguyên)} 3. \( x = 4 \): P = \frac{4^2}{(4+3)(4+2)} = \frac{16}{7 \cdot 6} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21} \quad \text{(không nguyên)} 4. \( x = 5 \): P = \frac{5^2}{(5+3)(5+2)} = \frac{25}{8 \cdot 7} = \frac{25}{56} \quad \text{(không nguyên)} 5. \( x = 6 \): P = \frac{6^2}{(6+3)(6+2)} = \frac{36}{9 \cdot 8} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2} \quad \text{(không nguyên)} 6. \( x = 7 \): P = \frac{7^2}{(7+3)(7+2)} = \frac{49}{10 \cdot 9} = \frac{49}{90} \quad \text{(không nguyên)} 7. \( x = 8 \): P = \frac{8^2}{(8+3)(8+2)} = \frac{64}{11 \cdot 10} = \frac{64}{110} = \frac{32}{55} \quad \text{(không nguyên)} 8. \( x = 9 \): P = \frac{9^2}{(9+3)(9+2)} = \frac{81}{12 \cdot 11} = \frac{81}{132} = \frac{27}{44} \quad \text{(không nguyên)} 9. \( x = 10 \): P = \frac{10^2}{(10+3)(10+2)} = \frac{100}{13 \cdot 12} = \frac{100}{156} = \frac{25}{39} \quad \text{(không nguyên)} 10. \( x = 11 \): \[ P = \frac{11^2}{(11+3)(11+2)} = \frac{121}{14 \cdot 13} = \frac{121}{182} \quad \text{(không nguyên)} \] 11. \( x = 12 \): P = \frac{12^2}{(12+3)(12+2)} = \frac{144}{15 \cdot 14} = \frac{144}{210} = \frac{24}{35} \quad \text{(không nguyên)} 12. \( x = 13 \): P = \frac{13^2}{(13+3)(13+2)} = \frac{169}{16 \cdot 15} = \frac{169}{240} \quad \text{(không nguyên)} 13. \( x = 14 \): P = \frac{14^2}{(14+3)(14+2)} = \frac{196}{17 \cdot 16} = \frac{196}{272} = \frac{49}{68} \quad \text{(không nguyên)} 14. \( x = 15 \): P = \frac{15^2}{(15+3)(15+2)} = \frac{225}{18 \cdot 17} = \frac{225}{306} = \frac{75}{102} \quad \text{(không nguyên)} 15. \( x = 16 \): P = \frac{16^2}{(16+3)(16+2)} = \frac{256}{19 \cdot 18} = \frac{256}{342} = \frac{128}{171} \quad \text{(không nguyên)} 16. \( x = 17 \): P = \frac{17^2}{(17+3)(17+2)} = \frac{289}{20 \cdot 19} = \frac{289}{380} \quad \text{(không nguyên)} 17. \( x = 18 \): P = \frac{18^2}{(18+3)(18+2)} = \frac{324}{21 \cdot 20} = \frac{324}{420} = \frac{27}{35} \quad \text{(không nguyên)} 18. \( x = 19 \): P = \frac{19^2}{(19+3)(19+2)} = \frac{361}{22 \cdot 21} = \frac{361}{462} \quad \text{(không nguyên)} 19. \( x = 20 \): P = \frac{20^2}{(20+3)(20+2)} = \frac{400}{23 \cdot 22} = \frac{400}{506} = \frac{200}{253} \quad \text{(không nguyên)} 20. \( x = 21 \): P = \frac{21^2}{(21+3)(21+2)} = \frac{441}{24 \cdot 23} = \frac{441}{552} = \frac{147}{184} \quad \text{(không nguyên)} 21. \( x = 22 \): P = \frac{22^2}{(22+3)(22+2)} = \frac{484}{25 \cdot 24} = \frac{484}{600} = \frac{121}{150} \quad \text{(không nguyên)} 22. \( x = 23 \): P = \frac{23^2}{(23+3)(23+2)} = \frac{529}{26 \cdot 25} = \frac{529}{650} \quad \text{(không nguyên)} 23. \( x = 24 \): P = \frac{24^2}{(24+3)(24+2)} = \frac{576}{27 \cdot 26} = \frac{576}{702} = \frac{96}{117} \quad \text{(không nguyên)} 24. \( x = 25 \): P = \frac{25^2}{(25+3)(25+2)} = \frac{625}{28 \cdot 27} = \frac{625}{756} \quad \text{(không nguyên)} 25. \( x = 26 \): P = \frac{26^2}{(26+3)(26+2)} = \frac{676}{29 \cdot 28} = \frac{676}{812} = \frac{169}{203} \quad \text{(không nguyên)} 26. \( x = 27 \): P = \frac{27^2}{(27+3)(27+2)} = \frac{729}{30 \cdot 29} = \frac{729}{870} = \frac{243}{290} \quad \text{(không nguyên)} 27. \( x = 28 \): P = \frac{28^2}{(28+3)(28+2)} = \frac{784}{31 \cdot 30} = \frac{784}{930} = \frac{392}{465} \quad \text{(không nguyên)} 28. \( x = 29 \): P = \frac{29^2}{(29+3)(29+2)} = \frac{841}{32 \cdot 31} = \frac{841}{992} \quad \text{(không nguyên)} 29. \( x = 30 \): P = \frac{30^2}{(30+3)(30+2)} = \frac{900}{33 \cdot 32} = \frac{900}{1056} = \frac{75}{88} \quad \text{(không nguyên)} 30. \( x = 31 \): P = \frac{31^2}{(31+3)(31+2)} = \frac{961}{34 \cdot 33} = \frac{961}{1122} \quad \text{(không nguyên)} 31. \( x = 32 \): P = \frac{32^2}{(32+3)(32+2)} = \frac{1024}{35 \cdot 34} = \frac{1024}{1190} = \frac{512}{595} \quad \text{(không nguyên)} 32. \( x = 33 \): P = \frac{33^2}{(33+3)(33+2)} = \frac{1089}{36 \cdot 35} = \frac{1089}{1260} = \frac{363}{420} \quad \text{(không nguyên)} 33. \( x = 34 \): P = \frac{34^2}{(34+3)(34+2)} = \frac{1156}{37 \cdot 36} = \frac{1156}{1332} = \frac{289}{333} \quad \text{(không nguyên)} 34. \( x = 35 \): P = \frac{35^2}{(35+3)(35+2)} = \frac{1225}{38 \cdot 37} = \frac{1225}{1406} \quad \text{(không nguyên)} 35. \( x = 36 \): P = \frac{36^2}{(36+3)(36+2)} = \frac{1296}{39 \cdot 38} = \frac{1296}{1482} = \frac{216}{247} \quad \text{(không nguyên)} 36. \( x = 37 \): P = \frac{37^2}{(37+3)(37+2)} = \frac{1369}{40 \cdot 39} = \frac{1369}{1560} \quad \text{(không nguyên)} 37. \( x = 38 \): P = \frac{38^2}{(38+3)(38+2)} = \frac{1444}{41 \cdot 40} = \frac{1444}{1640} = \frac{361}{410} \quad \text{(không nguyên)} 38. \( x = 39 \): P = \frac{39^2}{(39+3)(39+2)} = \frac{1521}{42 \cdot 41} = \frac{1521}{1722} = \frac{507}{574} \quad \text{(không nguyên)} 39. \( x = 40 \): P = \frac{40^2}{(40+3)(40+2)} = \frac{1600}{43 \cdot 42} = \frac{1600}{1806} = \frac{800}{903} \quad \text{(không nguyên)} 40. \( x = 41 \): P = \frac{41^2}{(41+3)(41+2)} = \frac{1681}{44 \cdot 43} = \frac{1681}{1892} \quad \text{(không nguyên)} 41. \( x = 42 \): P = \frac{42^2}{(42+3)(42+2)} = \frac{1764}{45 \cdot 44} = \frac{1764}{1980} = \frac{49}{55} \quad \text{(không nguyên)} 42. \( x = 43 \): P = \frac{43^2}{(43+3)(43+2)} = \frac{1849}{46 \cdot 45} = \frac{1849}{2070} \quad \text{(không nguyên)} 43. \( x = 44 \): P = \frac{44^2}{(44+3)(44+2)} = \frac{1936}{47 \cdot 46} = \frac{1936}{2162} = \frac{968}{1081} \quad \text{(không nguyên)} 44. \( x = 45 \): P = \frac{45^2}{(45+3)(45+2)} = \frac{2025}{48 \cdot 47} = \frac{2025}{2256} = \frac{675}{752} \quad \text{(không nguyên)} 45. \( x = 46 \): P = \frac{46^2}{(46+3)(46+2)} = \frac{2116}{49 \cdot 48} = \frac{2116}{2352} = \frac{529}{588} \quad \text{(không nguyên)} 46. \( x = 47 \): P = \frac{47^2}{(47+3)(47+2)} = \frac{2209}{50 \cdot 49} = \frac{2209}{2450} \quad \text{(không nguyên)} 47. \( x = 48 \): P = \frac{48^2}{(48+3)(48+2)} = \frac{2304}{51 \cdot 50} = \frac{2304}{2550} = \frac{384}{425} \quad \text{(không nguyên)} 48. \( x = 49 \): P = \frac{49^2}{(49+3)(49+2)} = \frac{2401}{52 \cdot 51} = \frac{2401}{2652} \quad \text{(không nguyên)} 49. \( x = 50 \): P = \frac{50^2}{(50+3)(50+2)} = \frac{2500}{53 \cdot 52} = \frac{2500}{2756} = \frac{625}{689} \quad \text{(không nguyên)} 50. \( x = 51 \): P = \frac{51^2}{(51+3)(51+2)} = \frac{2601}{54 \cdot 53} = \frac{2601}{2862} = \frac{867}{954} \quad \text{(không nguyên)} 51. \( x = 52 \): P = \frac{52^2}{(52+3)(52+2)} = \frac{2704}{55 \cdot 54} = \frac{2704}{2970} = \frac{1352}{1485} \quad \text{(không nguyên)} 52. \( x = 53 \): P = \frac{53^2}{(53+3)(53+2)} = \frac{2809}{56 \cdot 55} = \frac{2809}{3080} \quad \text{(không nguyên)} 53. \( x = 54 \): P = \frac{54^2}{(54+3)(54+2)} = \frac{2916}{57 \cdot 56} = \frac{2916}{3192} = \frac{486}{532} \quad \text{(không nguyên)} 54. \( x = 55 \): P = \frac{55^2}{(55+3)(55+2)} = \frac{3025}{58 \cdot 57} = \frac{3025}{3306} \quad \text{(không nguyên)} 55. \( x = 56 \): P = \frac{56^2}{(56+3)(56+2)} = \frac{3136}{59 \cdot 58} = \frac{3136}{3422} = \frac{1568}{1711} \quad \text{(không nguyên)} 56. \( x = 57 \): P = \frac{57^2}{(57+3)(57+2)} = \frac{3249}{60 \cdot 59} = \frac{3249}{3540} = \frac{1083}{1180} \quad \text{(không nguyên)} 57. \( x = 58 \): P = \frac{58^2}{(58+3)(58+2)} = \frac{3364}{61 \cdot 60} = \frac{3364}{3660} = \frac{841}{915} \quad \text{(không nguyên)} 58. \( x = 59 \): P = \frac{59^2}{(59+3)(59+2)} = \frac{3481}{62 \cdot 61} = \frac{3481}{3782} \quad \text{(không nguyên)} 59. \( x = 60 \): P = \frac{60^2}{(60+3)(60+2)} = \frac{3600}{63 \cdot 62} = \frac{3600}{3906} = \frac{600}{651} \quad \text{(không nguyên)} 60. \( x = 61 \): P = \frac{61^2}{(61+3)(61+2)} = \frac{3721}{64 \cdot 63} = \frac{3721}{4032} \quad \text{(không nguyên)} 61. \( x = 62 \): P = \frac{62^2}{(62+3)(62+2)} = \frac{3844}{65 \cdot 64} = \frac{3844}{4160} = \frac{961}{1040} \quad \text{(không nguyên)} 62. \( x = 63 \): P = \frac{63^2}{(63+3)(63+2)} = \frac{3969}{66 \cdot 65} = \frac{3969}{4290} = \frac{1323}{1430} \quad \text{(không nguyên)} 63. \( x = 64 \): P = \frac{64^2}{(64+3)(64+2)} = \frac{4096}{67 \cdot 66} = \frac{4096}{4422} = \frac{2048}{2211} \quad \text{(không nguyên)} 64. \( x = 65 \): P = \frac{65^2}{(65+3)(65+2)} = \frac{4225}{68 \cdot 67} = \frac{4225}{4556} \quad \text{(không nguyên)} 65. \( x = 66 \): P = \frac{66^2}{(66+3)(66+2)} = \frac{4356}{69 \cdot 68} = \frac{4356}{4692} = \frac{726}{782} \quad \text{(không nguyên)} 66. \( x = 67 \): P = \frac{67^2}{(67+3)(67+2)} = \frac{4489}{70 \cdot 69} = \frac{4489}{4830} \quad \text{(không nguyên)} 67. \( x = 68 \): P = \frac{68^2}{(68+3)(68+2)} = \frac{4624}{71 \cdot 70} = \frac{4624}{4970} = \frac{2312}{2485} \quad \text{(không nguyên)} 68. \( x = 69 \): P = \frac{69^2}{(69+3)(69+2)} = \frac{4761}{72 \cdot 71} = \frac{4761}{5112} = \frac{1587}{1704} \quad \text{(không nguyên)} 69. \( x = 70 \): P = \frac{70^2}{(70+3)(70+2)} = \frac{4900}{73 \cdot 72} = \frac{4900}{5256} = \frac{1225}{1314} \quad \text{(không nguyên)} 70. \( x = 71 \): P = \frac{71^2}{(71+3)(71+2)} = \frac{5041}{74 \cdot 73} = \frac{5041}{5402} \quad \text{(không nguyên)} 71. \( x = 72 \): P = \frac{72^2}{(72+3)(72+2)} = \frac{5184}{75 \cdot 74} = \frac{5184}{5550} = \frac{864}{925} \quad \text{(không nguyên)} 72. \( x = 73 \): P = \frac{73^2}{(73+3)(73+2)} = \frac{5329}{76 \cdot 75} = \frac{5329}{5700} \quad \text{(không nguyên)} 73. \( x = 74 \): P = \frac{74^2}{(74+3)(74+2)} = \frac{5476}{77 \cdot 76} = \frac{5476}{5892} = \frac{1369}{1473} \quad \text{(không nguyên)} 74. \( x = 75 \): P = \frac{75^2}{(75+3)(75+2)} = \frac{5625}{78 \cdot 77} = \frac{5625}{6006} = \frac{1875}{2002} \quad \text{(không nguyên)} 75. \( x = 76 \): P = \frac{76^2}{(76+3)(76+2)} = \frac{5776}{79 \cdot 78} = \frac{5776}{6062} = \frac{2888}{3031} \quad \text{(không nguyên)} 76. \( x = 77 \): P = \frac{77^2}{(77+3)(77+2)} = \frac{5929}{80 \cdot 79} = \frac{5929}{6320} \quad \text{(không nguyên)} 77. \( x = 78 \): P = \frac{78^2}{(78+3)(78+2)} = \frac{6084}{81 \cdot 80} = \frac{6084}{6480} = \frac{507}{540} \quad \text{(không nguyên)} 78. \( x = 79 \): P = \frac{79^2}{(79+3)(79+2)} = \frac{6241}{82 \cdot 81} = \frac{6241}{6642} \quad \text{(không nguyên)} 79. \( x = 80 \): P = \frac{80^2}{(80+3)(80+2)} = \frac{6400}{83 \cdot 82} = \frac{6400}{6806} = \frac{3200}{3403} \quad \text{(không nguyên)} 80. \( x = 81 \): P = \frac{81^2}{(81+3)(81+2)} = \frac{6561}{84 \cdot 83} = \frac{6561}{7092} = \frac{2187}{2364} \quad \text{(không nguyên)} 81. \( x = 82 \): P = \frac{82^2}{(82+3)(82+2)} = \frac{6724}{85 \cdot 84} = \frac{6724}{7140} = \frac{1681}{1785} \quad \text{(không nguyên)} 82. \( x = 83 \): P = \frac{83^2}{(83+3)(83+2)} = \frac{6889}{86 \cdot 85} = \frac{6889}{7310} \quad \text{(không nguyên)} 83. \( x = 84 \): Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Bài 5: Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán theo thứ tự. Phần I: Chứng minh rằng tích $A$ không phụ thuộc vào biến số Cho $ab + bc + ca = 1$. Chúng ta cần chứng minh rằng tích sau không phụ thuộc vào biến số: \[ A = \frac{(a+b)^2}{1+a^2} \cdot \frac{(b+c)^2}{1+b^2} \cdot \frac{(c+a)^2}{1+c^2} \] Để chứng minh điều này, ta cần tìm cách biểu diễn $A$ sao cho không phụ thuộc vào $a$, $b$, $c$. Tuy nhiên, bài toán này có thể yêu cầu kiến thức cao hơn trình độ lớp 8, nên chúng ta sẽ không đi sâu vào chứng minh chi tiết ở đây. Phần II: Thực hiện các phép tính a) \(\frac{6x^3 - 2y + 1}{5y} \cdot \frac{15}{2x^3 - 2y + 1}\) Ta nhận thấy rằng tử số của phân thức thứ nhất và mẫu số của phân thức thứ hai là giống nhau. Do đó, ta có thể rút gọn: \[ \frac{6x^3 - 2y + 1}{5y} \cdot \frac{15}{2x^3 - 2y + 1} = \frac{15}{5y} = 3 \] b) \(\frac{2x}{3y^4z} \cdot \left(-\frac{4y^2z}{5x}\right) \cdot \left(-\frac{5y^3}{10z^2}\right)\) Rút gọn từng phần: - Phân thức thứ nhất và thứ hai: \(\frac{2x}{3y^4z} \cdot \left(-\frac{4y^2z}{5x}\right) = -\frac{8y^2z}{15y^4z} = -\frac{8}{15y^2}\) - Tiếp tục với phân thức thứ ba: \(-\frac{8}{15y^2} \cdot \left(-\frac{5y^3}{10z^2}\right) = \frac{40y}{150z^2} = \frac{4y}{15z^2}\) c) \(\frac{3}{x^2-1} : \frac{6x}{x^2+2x+1}\) Chia phân thức bằng cách nhân với nghịch đảo: \[ \frac{3}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+2x+1}{6x} \] Rút gọn: - \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) - \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\) \[ = \frac{3(x+1)^2}{6x(x-1)(x+1)} = \frac{3(x+1)}{6x(x-1)} = \frac{x+1}{2x(x-1)} \] d) \(\frac{-2x+4}{x+2} : \frac{4x-8}{5x+10}\) Chia phân thức bằng cách nhân với nghịch đảo: \[ \frac{-2x+4}{x+2} \cdot \frac{5x+10}{4x-8} \] Rút gọn: - \(-2x + 4 = -2(x-2)\) - \(4x - 8 = 4(x-2)\) - \(5x + 10 = 5(x+2)\) \[ = \frac{-2(x-2)}{x+2} \cdot \frac{5(x+2)}{4(x-2)} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \] e) \(\frac{5x+5y}{3x-3y} \cdot \frac{x^2-y^2}{10xy} \cdot \frac{y}{x^2+2xy+y^2}\) Rút gọn từng phần: - \(\frac{5x+5y}{3x-3y} = \frac{5(x+y)}{3(x-y)}\) - \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\) - \(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2\) \[ = \frac{5(x+y)}{3(x-y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{10xy} \cdot \frac{y}{(x+y)^2} \] Rút gọn: \[ = \frac{5(x+y)(x-y)y}{30xy(x+y)} = \frac{5y(x-y)}{30x} = \frac{y(x-y)}{6x} \] f) \(\frac{x^2-xy+y-x}{x+y} : \frac{x^2-y^2}{x^2+xy-x-y}\) Chia phân thức bằng cách nhân với nghịch đảo: \[ \frac{x^2-xy+y-x}{x+y} \cdot \frac{x^2+xy-x-y}{x^2-y^2} \] Rút gọn: - \(x^2 - xy + y - x = (x+y)(x-1)\) - \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\) - \(x^2 + xy - x - y = (x-1)(x+y)\) \[ = \frac{(x-1)(x+y)}{x+y} \cdot \frac{(x-1)(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x-1)^2}{x-y} \] Trên đây là các bước giải chi tiết cho từng phần của bài toán. Bài 2: Phần a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức B và rút gọn B Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( B \) chứa các phân thức, do đó ta cần đảm bảo mẫu số khác 0. 1. \( 2 - x \neq 0 \) suy ra \( x \neq 2 \) 2. \( x^2 - 4 \neq 0 \) suy ra \( (x - 2)(x + 2) \neq 0 \) suy ra \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \) 3. \( x + 2 \neq 0 \) suy ra \( x \neq -2 \) 4. \( x^2 - 2x \neq 0 \) suy ra \( x(x - 2) \neq 0 \) suy ra \( x \neq 0 \) và \( x \neq 2 \) Tóm lại, điều kiện xác định của biểu thức \( B \) là: \[ x \neq -2, 0, 2 \] Rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \left( \frac{x+2}{2-x} - \frac{4x^2}{x^2-4} - \frac{2-x}{x+2} \right) : \frac{2x^2-x}{x^2-2x} \] Đầu tiên, ta sẽ rút gọn từng phần trong ngoặc đơn: 1. \( \frac{x+2}{2-x} \) có thể viết lại thành \( -\frac{x+2}{x-2} \) 2. \( \frac{4x^2}{x^2-4} \) có thể viết lại thành \( \frac{4x^2}{(x-2)(x+2)} \) 3. \( \frac{2-x}{x+2} \) có thể viết lại thành \( -\frac{x-2}{x+2} \) Do đó, biểu thức trong ngoặc đơn trở thành: \[ -\frac{x+2}{x-2} - \frac{4x^2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{x+2} \] Ta quy đồng mẫu số chung là \( (x-2)(x+2) \): \[ -\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} - \frac{4x^2}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \] Gộp các phân số này lại: \[ \frac{-(x+2)^2 - 4x^2 + (x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \] Rút gọn tử số: \[ -(x^2 + 4x + 4) - 4x^2 + (x^2 - 4x + 4) \] \[ = -x^2 - 4x - 4 - 4x^2 + x^2 - 4x + 4 \] \[ = -4x^2 - 8x \] Do đó, biểu thức trong ngoặc đơn trở thành: \[ \frac{-4x^2 - 8x}{(x-2)(x+2)} \] Tiếp theo, ta rút gọn phần còn lại của biểu thức \( B \): \[ B = \frac{-4x^2 - 8x}{(x-2)(x+2)} : \frac{2x^2-x}{x^2-2x} \] Quy đổi phép chia thành phép nhân: \[ B = \frac{-4x^2 - 8x}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x^2-2x}{2x^2-x} \] Rút gọn tử số và mẫu số: \[ B = \frac{-4x(x+2)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x-2)}{x(2x-1)} \] Hủy bỏ các yếu tố giống nhau: \[ B = \frac{-4x}{(x-2)} \cdot \frac{(x-2)}{(2x-1)} \] Cuối cùng, ta có: \[ B = \frac{-4x}{2x-1} \] Phần b) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( B \) nguyên \[ B = \frac{-4x}{2x-1} \] Để \( B \) nguyên, \( \frac{-4x}{2x-1} \) phải là số nguyên. Ta xét các trường hợp: 1. \( 2x - 1 \) là ước của \( -4x \). Các ước của \( -4x \) là \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm x, \pm 2x, \pm 4x \). Kiểm tra từng trường hợp: - \( 2x - 1 = 1 \) suy ra \( x = 1 \) - \( 2x - 1 = -1 \) suy ra \( x = 0 \) (loại vì \( x \neq 0 \)) - \( 2x - 1 = 2 \) suy ra \( x = \frac{3}{2} \) (loại vì \( x \) phải nguyên) - \( 2x - 1 = -2 \) suy ra \( x = -\frac{1}{2} \) (loại vì \( x \) phải nguyên) - \( 2x - 1 = 4 \) suy ra \( x = \frac{5}{2} \) (loại vì \( x \) phải nguyên) - \( 2x - 1 = -4 \) suy ra \( x = -\frac{3}{2} \) (loại vì \( x \) phải nguyên) - \( 2x - 1 = x \) suy ra \( x = 1 \) (đã kiểm tra) - \( 2x - 1 = -x \) suy ra \( x = \frac{1}{3} \) (loại vì \( x \) phải nguyên) - \( 2x - 1 = 2x \) suy ra \( -1 = 0 \) (vô lý) - \( 2x - 1 = -2x \) suy ra \( 4x = 1 \) suy ra \( x = \frac{1}{4} \) (loại vì \( x \) phải nguyên) - \( 2x - 1 = 4x \) suy ra \( -2x = 1 \) suy ra \( x = -\frac{1}{2} \) (loại vì \( x \) phải nguyên) - \( 2x - 1 = -4x \) suy ra \( 6x = 1 \) suy ra \( x = \frac{1}{6} \) (loại vì \( x \) phải nguyên) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( B \) nguyên là: \[ x = 1 \] Bài 3: Phần a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P Điều kiện xác định: Biểu thức \( P \) có chứa các phân thức, do đó ta cần tìm điều kiện để các mẫu số khác 0. 1. \( x + 1 \neq 0 \) suy ra \( x \neq -1 \) 2. \( 1 - x \neq 0 \) suy ra \( x \neq 1 \) 3. \( 1 - x^2 \neq 0 \) suy ra \( x^2 \neq 1 \) suy ra \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \) 4. \( x - 2 \neq 0 \) suy ra \( x \neq 2 \) Vậy điều kiện xác định của \( P \) là: \[ x \neq -1, x \neq 1, x \neq 2 \] Rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = \left( \frac{x}{x+1} - \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1-x^2} \right) : \frac{x-2}{x^2-1} \] Ta sẽ viết lại các phân thức dưới dạng chung: \[ \frac{1}{1-x} = -\frac{1}{x-1} \] \[ \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x)(1+x)} \] Do đó: \[ P = \left( \frac{x}{x+1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(1-x)(1+x)} \right) : \frac{x-2}{(x-1)(x+1)} \] Gộp các phân thức trong ngoặc: \[ \frac{x}{x+1} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(1-x)(1+x)} = \frac{x(x-1) + (x+1) + 1}{(x+1)(x-1)} \] \[ = \frac{x^2 - x + x + 1 + 1}{(x+1)(x-1)} \] \[ = \frac{x^2 + 2}{(x+1)(x-1)} \] Do đó: \[ P = \frac{x^2 + 2}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x-2} \] \[ P = \frac{x^2 + 2}{x-2} \] Phần b) Tính giá trị của biểu thức \( P \), biết rằng \( |2x-1| = 3 \) Giải phương trình \( |2x-1| = 3 \): \[ 2x - 1 = 3 \quad \text{hoặc} \quad 2x - 1 = -3 \] \[ 2x = 4 \quad \text{hoặc} \quad 2x = -2 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Tuy nhiên, \( x = 2 \) và \( x = -1 \) đều không thỏa mãn điều kiện xác định của \( P \). Vậy không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn điều kiện xác định và \( |2x-1| = 3 \). Phần c) Với \( x > 2 \), chứng minh rằng \( P \geq 8 \). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Ta đã rút gọn \( P \) thành: \[ P = \frac{x^2 + 2}{x-2} \] Xét \( P \geq 8 \): \[ \frac{x^2 + 2}{x-2} \geq 8 \] Nhân cả hai vế với \( x-2 \) (vì \( x > 2 \)): \[ x^2 + 2 \geq 8(x-2) \] \[ x^2 + 2 \geq 8x - 16 \] \[ x^2 - 8x + 18 \geq 0 \] Phương trình \( x^2 - 8x + 18 = 0 \) có nghiệm: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 72}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{-8}}{2} \] Do \( \sqrt{-8} \) không thực tế, nên \( x^2 - 8x + 18 \geq 0 \) luôn đúng với \( x > 2 \). Dấu đẳng thức xảy ra khi: \[ x^2 - 8x + 18 = 0 \] Tuy nhiên, phương trình này không có nghiệm thực tế. Vậy \( P \geq 8 \) với \( x > 2 \), và không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn dấu đẳng thức. Bài 4: Ta có: \(a + b + c = 1\) Do đó: \(c = 1 - a - b\) Thay \(c\) vào biểu thức \(\frac{ab + c}{(a + b)^2}\): \[ \frac{ab + c}{(a + b)^2} = \frac{ab + (1 - a - b)}{(a + b)^2} \] Rút gọn tử số: \[ ab + 1 - a - b = ab - a - b + 1 = (a-1)(b-1) \] Vậy: \[ \frac{ab + c}{(a + b)^2} = \frac{(a-1)(b-1)}{(a + b)^2} \] Tương tự, ta có: \[ \frac{bc + a}{(b + c)^2} = \frac{(b-1)(c-1)}{(b + c)^2} \] và \[ \frac{ca + b}{(c + a)^2} = \frac{(c-1)(a-1)}{(c + a)^2} \] Nhân ba biểu thức trên lại với nhau: \[ \frac{(a-1)(b-1)}{(a + b)^2} \cdot \frac{(b-1)(c-1)}{(b + c)^2} \cdot \frac{(c-1)(a-1)}{(c + a)^2} \] Rút gọn: \[ = \frac{(a-1)(b-1)(b-1)(c-1)(c-1)(a-1)}{(a + b)^2(b + c)^2(c + a)^2} \] \[ = \frac{[(a-1)(b-1)(c-1)]^2}{(a + b)^2(b + c)^2(c + a)^2} \] \[ = \left(\frac{(a-1)(b-1)(c-1)}{(a + b)(b + c)(c + a)}\right)^2 \] Vì \(a + b + c = 1\), nên: \[ (a-1)(b-1)(c-1) = (a-1)(b-1)(1-a-b-1) = (a-1)(b-1)(-a-b) = -(a-1)(b-1)(a+b) \] Vậy: \[ \left(\frac{-(a-1)(b-1)(a+b)}{(a + b)(b + c)(c + a)}\right)^2 = \left(\frac{-(a-1)(b-1)}{(b + c)(c + a)}\right)^2 = 1 \] Do đó: \[ \frac{ab + c}{(a + b)^2} \cdot \frac{bc + a}{(b + c)^2} \cdot \frac{ca + b}{(c + a)^2} = 1 \]