Bài 1 Thực hiện phép tính sau A)6x^3 2y+1/5y × 15/2x^3 2y +1 b)2x/3y^4z × (-4y^2z/5x) × (-5y^3/10xz)

Bài 1: a) Ta có: \[ 6x^3 \cdot 2y + \frac{1}{5y} \times \frac{15}{2x^3 \cdot 2y} + 1 \] \[ = 12x^3y + \frac{1}{5y} \times \frac{15}{4x^3y} + 1 \] \[ = 12x^3y + \frac{15}{20x^3y^2} + 1 \] \[ = 12x^3y + \frac{3}{4x^3y^2} + 1 \] b) Ta có: \[ \frac{2x}{3y^4z} \times \left(-\frac{4y^2z}{5x}\right) \times \left(-\frac{5y^3}{10xz}\right) \] \[ = \frac{2x \cdot (-4y^2z) \cdot (-5y^3)}{3y^4z \cdot 5x \cdot 10xz} \] \[ = \frac{2x \cdot 4y^2z \cdot 5y^3}{3y^4z \cdot 5x \cdot 10xz} \] \[ = \frac{40xy^5z}{150x^2y^4z^2} \] \[ = \frac{40xy^5z}{150x^2y^4z^2} \] \[ = \frac{4y}{15xz} \] c) Ta có: \[ \frac{3}{x^2-1} : \frac{6x}{x^2+2x+1} \] \[ = \frac{3}{(x-1)(x+1)} \times \frac{(x+1)^2}{6x} \] \[ = \frac{3(x+1)}{6x(x-1)} \] \[ = \frac{x+1}{2x(x-1)} \] d) Ta có: \[ \frac{-2x+4}{x+2} : \frac{4x-8}{5x+10} \] \[ = \frac{-2(x-2)}{x+2} \times \frac{5(x+2)}{4(x-2)} \] \[ = \frac{-2(x-2) \cdot 5(x+2)}{(x+2) \cdot 4(x-2)} \] \[ = \frac{-10(x-2)(x+2)}{4(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{-10}{4} \] \[ = -\frac{5}{2} \] e) Ta có: \[ \frac{5x+5y}{3x-3y} \cdot \frac{x^2-y^2}{10xy} \cdot \frac{y}{x^2+2xy+y^2} \] \[ = \frac{5(x+y)}{3(x-y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{10xy} \cdot \frac{y}{(x+y)^2} \] \[ = \frac{5(x+y) \cdot (x-y)(x+y) \cdot y}{3(x-y) \cdot 10xy \cdot (x+y)^2} \] \[ = \frac{5y(x-y)(x+y)}{30xy(x-y)(x+y)} \] \[ = \frac{5y}{30xy} \] \[ = \frac{1}{6x} \] f) Ta có: \[ \frac{x^2-xy+y-x}{x+y} : \frac{x^2-y^2}{x^2+xy-x-y} \] \[ = \frac{x(x-y)+y-x}{x+y} \times \frac{x^2+xy-x-y}{(x-y)(x+y)} \] \[ = \frac{x(x-y)-1(x-y)}{x+y} \times \frac{x(x+y)-1(x+y)}{(x-y)(x+y)} \] \[ = \frac{(x-1)(x-y)}{x+y} \times \frac{(x-1)(x+y)}{(x-y)(x+y)} \] \[ = \frac{(x-1)(x-y) \cdot (x-1)(x+y)}{(x+y) \cdot (x-y)(x+y)} \] \[ = \frac{(x-1)^2}{(x+y)} \] Bài 2: a) Điều kiện xác định của biểu thức B là \(x \neq 2\) và \(x \neq -2\). Ta có: \[ B = \left( \frac{x+2}{2-x} - \frac{4x^2}{x^2-4} - \frac{2-x}{x+2} \right) : \frac{2x^2-x}{x^2-2x} \] Đầu tiên, ta sẽ rút gọn phần tử số của biểu thức B: \[ \frac{x+2}{2-x} - \frac{4x^2}{x^2-4} - \frac{2-x}{x+2} \] Chú ý rằng \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) và \(2-x = -(x-2)\). Ta có: \[ \frac{x+2}{2-x} = \frac{x+2}{-(x-2)} = -\frac{x+2}{x-2} \] \[ \frac{2-x}{x+2} = \frac{-(x-2)}{x+2} = -\frac{x-2}{x+2} \] Do đó, ta có: \[ -\frac{x+2}{x-2} - \frac{4x^2}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{x+2} \] Quy đồng mẫu số chung là \((x-2)(x+2)\): \[ -\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} - \frac{4x^2}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \] Tổng hợp lại: \[ -\frac{(x+2)^2 + 4x^2 - (x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \] Rút gọn tử số: \[ -(x^2 + 4x + 4) + 4x^2 - (x^2 - 4x + 4) \] \[ = -x^2 - 4x - 4 + 4x^2 - x^2 + 4x - 4 \] \[ = 2x^2 - 8 \] Do đó: \[ -\frac{2x^2 - 8}{(x-2)(x+2)} = -\frac{2(x^2 - 4)}{(x-2)(x+2)} = -\frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = -2 \] Tiếp theo, ta sẽ rút gọn phần mẫu số của biểu thức B: \[ \frac{2x^2-x}{x^2-2x} = \frac{x(2x-1)}{x(x-2)} = \frac{2x-1}{x-2} \] Do đó, ta có: \[ B = \frac{-2}{\frac{2x-1}{x-2}} = -2 \cdot \frac{x-2}{2x-1} = \frac{-2(x-2)}{2x-1} \] b) Để B nguyên, ta cần \(\frac{-2(x-2)}{2x-1}\) là số nguyên. Điều này xảy ra khi \(2x-1\) là ước của \(-2(x-2)\). Các giá trị nguyên của x để B nguyên là: \[ x = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99 \] Bàài3: a) Ta có: \(1-x \neq 0\) hay \(x \neq 1\); \(1+x \neq 0\) hay \(x \neq -1\); \(x-2 \neq 0\) hay \(x \neq 2\) Vậy ĐKXĐ của biểu thức P là \(x \neq -1; 1; 2\) Ta có \(P=\left (\frac{x}{x+1}-\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-x^2}\right ):\frac{x-2}{x^2-1}\) \(=\left (\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{(1-x)(1+x)}\right ):\frac{x-2}{-(x-1)(x+1)}\) \(=\left (\frac{x(x-1)+x+1+1}{(x+1)(x-1)}\right ):\frac{x-2}{-(x-1)(x+1)}\) \(=\left (\frac{x^2-x+x+2}{(x+1)(x-1)}\right ):\frac{x-2}{-(x-1)(x+1)}\) \(=\left (\frac{x^2+2}{(x+1)(x-1)}\right ):\frac{x-2}{-(x-1)(x+1)}\) \(=\frac{x^2+2}{(x+1)(x-1)}.\frac{-(x-1)(x+1)}{x-2}\) \(=-\frac{x^2+2}{x-2}\) b) Ta có \(|2x-1|=3\) \(TH_1: 2x-1=3\) \(2x=4\) \(x=2\) (loại) \(TH_2: 2x-1=-3\) \(2x=-2\) \(x=-1\) (loại) Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn đề bài. c) Ta có \(P=-\frac{x^2+2}{x-2}=-(x-2+\frac{6}{x-2})\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(x-2+\frac{6}{x-2} \geq 2\sqrt{(x-2)\frac{6}{x-2}}=2\sqrt{6}\) Dấu “=” xảy ra khi \(x-2=\frac{6}{x-2}\) \(x-2= \pm \sqrt{6}\) Với \(x>2\) thì \(x-2=\sqrt{6}\) Vậy \(P \geq -2\sqrt{6}\) Dấu “=” xảy ra khi \(x-2=\sqrt{6}\)