Cho hình chữ nhật ABCD.Trên cạnh AD,BC lấy E và F sao cho AE=CF.Trên cạnh AB,CD lấy M,N sao cho BM=DN.C/m a) CM tứ giác EMFN là hình bình hành b) AC,BD,EF,MN đồng quy

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành Để chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 1. Chứng minh EM song song với FN: - Vì AE = CF và E, F lần lượt nằm trên AD và BC, nên ta có: - \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CF} \). - Tương tự, vì BM = DN và M, N lần lượt nằm trên AB và CD, nên ta có: - \( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{DN} \). - Do đó, ta có: - \( \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{FN} \). - Vậy EM song song với FN. 2. Chứng minh EN song song với FM: - Tương tự như trên, ta có: - \( \overrightarrow{EN} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{FM} \). - Vậy EN song song với FM. 3. Chứng minh EM = FN và EN = FM: - Từ các bước trên, ta đã có: - \( \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{FN} \) và \( \overrightarrow{EN} = \overrightarrow{FM} \). - Do đó, EM = FN và EN = FM. Vì hai cặp cạnh đối của tứ giác EMFN song song và bằng nhau, nên tứ giác EMFN là hình bình hành. b) Chứng minh AC, BD, EF, MN đồng quy Để chứng minh AC, BD, EF, MN đồng quy, ta cần chứng minh rằng bốn đường thẳng này cắt nhau tại một điểm. 1. Xét giao điểm của AC và BD: - AC và BD là hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD, nên chúng cắt nhau tại trung điểm O của cả hai đường chéo. 2. Chứng minh EF và MN cũng đi qua O: - Vì AE = CF và BM = DN, nên trung điểm của EF và MN cũng là trung điểm của AD và BC, AB và CD tương ứng. - Do đó, EF và MN cũng đi qua điểm O. Vì AC, BD, EF, MN đều đi qua điểm O, nên chúng đồng quy tại O. Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.