Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại D a, Chứng minh bốn điểm B,C,M,N cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường trong này Ai vẽ đc hình, giải đc bài thì i...

Bài làm

a) Chứng minh 4 điểm B, C, M, N cùng nằm trên một đường tròn

Ta có tam giác ABCABCABC nhọn, với:

• BMBMBM là đường cao ⇒ BM⊥ACBM \perp ACBM⊥AC tại MMM
• CNCNCN là đường cao ⇒ CN⊥ABCN \perp ABCN⊥AB tại NNN

Xét tứ giác BMNC:

Ta thấy:

∠BMC=90∘(vıˋ BM⊥AC)\angle BMC = 90^\circ \quad\text{(vì } BM \perp AC \text{)}∠BMC=90∘(vıˋ BM⊥AC)∠BNC=90∘(vıˋ CN⊥AB)\angle BNC = 90^\circ \quad\text{(vì } CN \perp AB \text{)}∠BNC=90∘(vıˋ CN⊥AB)Suy ra:

∠BMC=∠BNC=90∘\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ∠BMC=∠BNC=90∘Nhận xét quan trọng:

Trong một tứ giác, nếu hai góc đối nhau cùng bằng 90∘90^\circ90∘ thì tứ giác đó nội tiếp.

⇒ Tứ giác B,C,M,NB, C, M, NB,C,M,N cùng nằm trên một đường tròn.

b) Xác định tâm III của đường tròn này

Vì:

∠BMC=90∘\angle BMC = 90^\circ∠BMC=90∘nên cung BCBCBC chắn góc vuông tại MMM.

Trong đường tròn, nếu một góc nội tiếp chắn đường kính thì góc đó bằng 90°.

→ BC chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.

Vậy:

➡ Tâm của đường tròn chính là trung điểm của đoạn BC.

Gọi trung điểm của BCBCBC là III, ta có:

I=Trung điểm của BCI = \text{Trung điểm của } BCI=Trung điểm của BCIB=IC=IM=IN=BC2IB = IC = IM = IN = \frac{BC}{2}IB=IC=IM=IN=2BC​Kết luận

• 4 điểm B, C, M, N nằm trên cùng 1 đường tròn vì 2 góc đối đều bằng 90∘90^\circ90∘.
• Tâm I của đường tròn là trung điểm của BC, vì BC là đường kính.