giup minh voi

Câu 11: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định vectơ \(\overrightarrow{AO}\) trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). 1. Xác định vị trí của điểm O: Trong hình lập phương, điểm O là tâm của hình lập phương, do đó O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện nhau. Giả sử hình lập phương có cạnh là \(a\), ta có thể chọn hệ trục tọa độ sao cho: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) - \(A'(0, 0, a)\) Khi đó, điểm đối diện với A là \(C'(a, a, a)\). Do đó, tọa độ của O là trung điểm của \(A\) và \(C'\): \[ O\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] 2. Tính vectơ \(\overrightarrow{AO}\): Vectơ \(\overrightarrow{AO}\) có tọa độ là: \[ \overrightarrow{AO} = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] 3. Biểu diễn \(\overrightarrow{AO}\) qua các vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AA'}\): - \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{AD} = (0, a, 0)\) - \(\overrightarrow{AA'} = (0, 0, a)\) Tổng của ba vectơ này là: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = (a, 0, 0) + (0, a, 0) + (0, 0, a) = (a, a, a) \] Do đó, ta có: \[ \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) = \frac{1}{2}(a, a, a) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] Vậy, \(\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'})\). 4. Kết luận: Khẳng định đúng là \(B.~\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'})\). Câu 12: Để phân tích vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) theo \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\), ta cần xác định mối quan hệ giữa các điểm trong hình hộp. 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AC}\): Trong hình hộp, điểm \(C\) có thể được xác định từ điểm \(A\) bằng cách đi qua hai cạnh của hình hộp. Cụ thể: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \] Mà \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\) (do \(ABCD\) là hình bình hành), nên: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\): Điểm \(C^\prime\) là điểm đối diện với \(C\) qua mặt phẳng \(AA^\prime\), do đó: \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC^\prime} \] Mà \(\overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{c}\), nên: \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} \] 3. Kết luận: Vậy, vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) được phân tích theo \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) là: \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] Do đó, đáp án đúng là \(C.~\overrightarrow{AC^\prime}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.\) Câu 13: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đẳng thức vector đã cho: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \] Ta sẽ biểu diễn vector \(\overrightarrow{AN}\) theo các vector \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), và \(\overrightarrow{AD}\). 1. Biểu diễn vector \(\overrightarrow{AN}\): \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \] Điều này có nghĩa là điểm \(N\) được xác định bằng cách bắt đầu từ điểm \(A\), đi theo vector \(\overrightarrow{AB}\), sau đó đi theo vector \(\overrightarrow{AC}\), và cuối cùng đi ngược lại theo vector \(\overrightarrow{AD}\). 2. Phân tích hình học: - Xét hình bình hành \(BCDN\), nếu \(N\) là đỉnh của hình bình hành này, thì ta có: \[ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{CD} \] - Từ đẳng thức vector đã cho, ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \] - Ta cần kiểm tra xem \(\overrightarrow{BN}\) có bằng \(\overrightarrow{CD}\) hay không: \[ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \] - Mặt khác, \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}\). - Rõ ràng, \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{CD}\). 3. Kiểm tra các mệnh đề: - A. N là trung điểm BD: Không đúng, vì \(\overrightarrow{AN}\) không phải là trung điểm của \(\overrightarrow{BD}\). - B. N là đỉnh hình bình hành BCDN: Không đúng, vì \(\overrightarrow{BN} \neq \overrightarrow{CD}\). - C. N là đỉnh hình bình hành CDBN: Không đúng, vì \(\overrightarrow{BN} \neq \overrightarrow{CD}\). - D. \(N \equiv A\): Không đúng, vì \(\overrightarrow{AN} \neq \overrightarrow{0}\). Kết luận: Không có mệnh đề nào trong các mệnh đề đã cho là đúng. Câu 14: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đẳng thức vectơ đã cho: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0} \] Đẳng thức này có nghĩa là tổng các vectơ từ điểm \( M \) đến các đỉnh của hình hộp bằng vectơ không. Điều này chỉ xảy ra khi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy. Lập luận chi tiết: 1. Tính chất của hình hộp: - Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có hai mặt đáy là ABCD và A'B'C'D'. - Tâm của mặt đáy ABCD là \( G_1 \) và tâm của mặt đáy A'B'C'D' là \( G_2 \). 2. Tính toán vectơ: - Tổng các vectơ từ \( M \) đến các đỉnh của một mặt đáy (ví dụ: ABCD) sẽ bằng \( 4\overrightarrow{MG_1} \). - Tương tự, tổng các vectơ từ \( M \) đến các đỉnh của mặt đáy còn lại (A'B'C'D') sẽ bằng \( 4\overrightarrow{MG_2} \). 3. Đẳng thức vectơ: - Đẳng thức đã cho có thể viết lại thành: \[ 4\overrightarrow{MG_1} + 4\overrightarrow{MG_2} = \overrightarrow{0} \] - Suy ra: \[ \overrightarrow{MG_1} + \overrightarrow{MG_2} = \overrightarrow{0} \] - Điều này có nghĩa là \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( G_1G_2 \). 4. Kết luận: - Mệnh đề đúng là: C. M là trung điểm đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy. Vậy, đáp án đúng là C. Câu 15: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích vị trí của điểm M trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' dựa trên các vectơ đã cho. 1. Xác định vị trí của điểm O: - O là tâm của hình hộp, do đó $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0}$. 2. Xác định vị trí của điểm M: - Theo đề bài, $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC})$. - Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$, do đó $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC})$. 3. Phân tích vị trí của M: - Vectơ $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC})$ cho thấy M nằm trên đường chéo AC của hình bình hành ABCD. - Vì M chia đường chéo AC theo tỉ lệ 1:1, nên M là trung điểm của AC. 4. Xác định các khẳng định: - A. M là trung điểm BB': Sai, vì M nằm trên AC. - B. M là tâm hình bình hành BCC'B': Sai, vì M nằm trên AC. - C. M là trung điểm CC': Sai, vì M nằm trên AC. - D. M là tâm hình bình hành ABB'A': Đúng, vì M là trung điểm của AC và do đó là tâm của hình bình hành ABB'A'. Vậy khẳng định đúng là: D. M là tâm hình bình hành ABB'A'. Câu 16: Để xác định điều kiện ba vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) đồng phẳng, ta cần hiểu rằng ba vectơ đồng phẳng nếu và chỉ nếu chúng có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của hai vectơ còn lại. Điều này có nghĩa là tồn tại các số thực \(m\), \(n\), \(p\) không đồng thời bằng 0 sao cho: \[ m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}. \] Tuy nhiên, để đảm bảo rằng không phải tất cả các hệ số \(m\), \(n\), \(p\) đều bằng 0, ta cần điều kiện \(m + n + p \neq 0\). Bây giờ, ta sẽ phân tích từng lựa chọn: A. Tồn tại ba số thực \(m\), \(n\), \(p\) thỏa mãn \(m+n+p=0\) và \(\overrightarrow{ma}+n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{pc}=\overrightarrow{0}\). - Điều kiện này không đảm bảo rằng các vectơ không đồng phẳng, vì \(m+n+p=0\) có thể dẫn đến trường hợp tất cả các hệ số đều bằng 0. B. Tồn tại ba số thực \(m\), \(n\), \(p\) thỏa mãn \(m+n+p\ne0\) và \(m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{p\overrightarrow{c}}=\overrightarrow{0}\). - Điều kiện này là chính xác để khẳng định ba vectơ đồng phẳng, vì nó đảm bảo rằng không phải tất cả các hệ số đều bằng 0. C. Tồn tại ba số thực \(m\), \(n\), \(p\) sao cho \(\overrightarrow{ma}+n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{pc}=\overrightarrow{0}\). - Điều kiện này không đủ mạnh để khẳng định đồng phẳng, vì không có ràng buộc nào ngăn cản tất cả các hệ số đều bằng 0. D. Giá của \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) đồng qui. - Điều kiện này không liên quan trực tiếp đến việc đồng phẳng của ba vectơ. Vì vậy, đáp án đúng là B. Câu 17: Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra các khẳng định dựa trên các tính chất của véctơ. Trước tiên, ta có các véctơ: - \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) - \(\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) - \(\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}\) Khẳng định A: \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\) đồng phẳng. Ba véctơ đồng phẳng khi và chỉ khi chúng có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai véctơ. Điều này có nghĩa là định thức của ma trận tạo bởi ba véctơ này phải bằng 0. Tuy nhiên, vì \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) không đồng phẳng, nên không thể có tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\) để tạo ra một véctơ không gian khác. Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định B: \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{a}\) cùng phương. Hai véctơ cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{x} = k\overrightarrow{a}\). Ta có: \[ \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] Rõ ràng, \(\overrightarrow{x}\) không thể biểu diễn dưới dạng \(k\overrightarrow{a}\) vì có thành phần \(\overrightarrow{b}\). Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định C: \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{b}\) cùng phương. Tương tự, hai véctơ cùng phương khi và chỉ khi có một số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{x} = k\overrightarrow{b}\). Ta có: \[ \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] Rõ ràng, \(\overrightarrow{x}\) không thể biểu diễn dưới dạng \(k\overrightarrow{b}\) vì có thành phần \(2\overrightarrow{a}\). Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định D: \(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}\) đôi một cùng phương. Để ba véctơ đôi một cùng phương, mỗi cặp véctơ phải cùng phương. Xét từng cặp: - \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) không cùng phương vì không thể biểu diễn một véctơ dưới dạng bội của véctơ kia. - \(\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}\) không cùng phương vì không thể biểu diễn một véctơ dưới dạng bội của véctơ kia. - \(\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) và \(\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}\) không cùng phương vì không thể biểu diễn một véctơ dưới dạng bội của véctơ kia. Do đó, khẳng định này sai. Kết luận: Không có khẳng định nào trong các lựa chọn là đúng. Câu 18: Để xác định ba véctơ có đồng phẳng hay không, ta cần kiểm tra xem chúng có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của nhau hay không. Cụ thể, ba véctơ \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{z}\) đồng phẳng nếu tồn tại các số thực \(k_1, k_2, k_3\) không đồng thời bằng 0 sao cho: \[ k_1 \overrightarrow{x} + k_2 \overrightarrow{y} + k_3 \overrightarrow{z} = \overrightarrow{0} \] Điều này tương đương với việc định thức của ma trận có các hàng là các véctơ \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{z}\) bằng 0. Xét từng trường hợp: A. \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 6\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 6\overrightarrow{c}\). Ma trận: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -6 \\ -1 & 3 & 6 \end{vmatrix} \] Tính định thức: \[ = 1 \cdot (-3 \cdot 6 - (-6) \cdot 3) - 1 \cdot (2 \cdot 6 - (-6) \cdot (-1)) + 2 \cdot (2 \cdot 3 - (-3) \cdot (-1)) \] \[ = 1 \cdot (-18 + 18) - 1 \cdot (12 - 6) + 2 \cdot (6 - 3) \] \[ = 0 - 6 + 6 = 0 \] Vì định thức bằng 0, ba véctơ đồng phẳng. B. \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 3\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}\). Ma trận: \[ \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 3 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & -3 \end{vmatrix} \] Tính định thức: \[ = 1 \cdot (-3 \cdot (-3) - 2 \cdot (-3)) - (-2) \cdot (3 \cdot (-3) - 2 \cdot 2) + 4 \cdot (3 \cdot (-3) - (-3) \cdot 2) \] \[ = 1 \cdot (9 + 6) + 2 \cdot (-9 - 4) + 4 \cdot (-9 + 6) \] \[ = 15 - 26 - 12 = -23 \] Vì định thức khác 0, ba véctơ không đồng phẳng. C. \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}\). Ma trận: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 3 \end{vmatrix} \] Tính định thức: \[ = 1 \cdot (-3 \cdot 3 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) + 1 \cdot (2 \cdot 3 - (-3) \cdot (-1)) \] \[ = 1 \cdot (-9 - 3) - 1 \cdot (6 + 1) + 1 \cdot (6 - 3) \] \[ = -12 - 7 + 3 = -16 \] Vì định thức khác 0, ba véctơ không đồng phẳng. D. \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{y} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{z} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}\). Ma trận: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \] Tính định thức: \[ = 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) - 1 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) - 1 \cdot (2 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1)) \] \[ = 1 \cdot (-2 + 3) - 1 \cdot (4 + 3) - 1 \cdot (-2 - 1) \] \[ = 1 - 7 + 3 = -3 \] Vì định thức khác 0, ba véctơ không đồng phẳng. Kết luận: Khẳng định đúng là A. Câu 19: Để xác định mệnh đề nào là sai, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: A. Mệnh đề: "a, b, c đồng phẳng nếu một trong ba vectơ đó bằng $\overrightarrow{0}$." - Phân tích: Nếu một trong ba vectơ là $\overrightarrow{0}$, thì rõ ràng ba vectơ này đồng phẳng, vì vectơ $\overrightarrow{0}$ có thể nằm trên bất kỳ mặt phẳng nào. Do đó, mệnh đề này là đúng. B. Mệnh đề: "a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương." - Phân tích: Nếu hai vectơ cùng phương, thì chúng nằm trên cùng một đường thẳng, và vectơ thứ ba có thể nằm trên mặt phẳng chứa đường thẳng đó. Do đó, ba vectơ này đồng phẳng. Mệnh đề này là đúng. C. Mệnh đề: "Trong hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ ba vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{C^\prime A^\prime};\overrightarrow{DA^\prime}$ đồng phẳng." - Phân tích: Trong hình hộp, các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{C^\prime A^\prime}$ và $\overrightarrow{DA^\prime}$ không nhất thiết phải đồng phẳng. Chúng có thể nằm trên ba mặt phẳng khác nhau của hình hộp. Do đó, mệnh đề này là sai. D. Mệnh đề: "$\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ luôn đồng phẳng với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$." - Phân tích: Vectơ $\overrightarrow{x}$ là tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$. Nếu $\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, thì $\overrightarrow{x}$ cũng không đồng phẳng với $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Do đó, mệnh đề này là sai. Kết luận: Mệnh đề sai là C. Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần xác định điều kiện để ba điểm \( M, N, P \) thẳng hàng. Trước tiên, ta sẽ biểu diễn các điểm \( M, N, P \) theo các vectơ đã cho. 1. Biểu diễn điểm \( M \): Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB^\prime} \] Giả sử \( \overrightarrow{AB^\prime} = \overrightarrow{u} \), ta có: \[ \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB^\prime} \Rightarrow \overrightarrow{MA} = k(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{M}) \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{M} = \frac{1}{1+k}(\overrightarrow{A} + k\overrightarrow{B^\prime}) \] 2. Biểu diễn điểm \( N \): Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{NB} = x\overrightarrow{NC^\prime} \] Giả sử \( \overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{v} \), ta có: \[ \overrightarrow{NB} = x\overrightarrow{NC^\prime} \Rightarrow \overrightarrow{NB} = x(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{v} - \overrightarrow{N}) \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{N} = \frac{1}{1+x}(\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C^\prime}) \] 3. Biểu diễn điểm \( P \): Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{PC} = y\overrightarrow{PD^\prime} \] Giả sử \( \overrightarrow{CD^\prime} = \overrightarrow{w} \), ta có: \[ \overrightarrow{PC} = y\overrightarrow{PD^\prime} \Rightarrow \overrightarrow{PC} = y(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{w} - \overrightarrow{P}) \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{P} = \frac{1}{1+y}(\overrightarrow{C} + y\overrightarrow{D^\prime}) \] 4. Điều kiện thẳng hàng: Ba điểm \( M, N, P \) thẳng hàng khi và chỉ khi các vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{NP} \) cùng phương, tức là: \[ \overrightarrow{MN} = \lambda \overrightarrow{NP} \] Từ các biểu thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{1+x}(\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C^\prime}) - \frac{1}{1+k}(\overrightarrow{A} + k\overrightarrow{B^\prime}) \] \[ \overrightarrow{NP} = \frac{1}{1+y}(\overrightarrow{C} + y\overrightarrow{D^\prime}) - \frac{1}{1+x}(\overrightarrow{B} + x\overrightarrow{C^\prime}) \] Để hai vectơ này cùng phương, ta cần giải hệ phương trình từ điều kiện này. Sau khi giải, ta tìm được: \[ x = \frac{1+2k}{1-2k}, \quad y = -\frac{1}{2k} \] Vậy đáp án đúng là \( B.~x=\frac{1+2k}{1-2k},y=-\frac1{2k} \).