viết phương trình mặt phẳng biết mặt phẳng song song với x - 2y + 2z + 5 = 0 và tiếp xúc mặt cầu:
x^2 + (y -3)^2 + (z + 1)^2 = 0

Question

viết phương trình mặt phẳng biết mặt phẳng song song với x - 2y + 2z + 5 = 0 và tiếp xúc mặt cầu:       
x^2 + (y -3)^2 + (z + 1)^2 = 0

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và tiếp xúc với mặt cầu đã cho.

Bước 1: Xác định mặt phẳng song song

Phương trình mặt phẳng đã cho là $x - 2y + 2z + 5 = 0$. Mặt phẳng song song với mặt phẳng này sẽ có dạng:
$$ x - 2y + 2z + D = 0 $$
với $D$ là hằng số cần tìm.

Bước 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

Phương trình mặt cầu là:
$$ x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 0 $$

Phương trình này có dạng:
$$ (x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 0 $$

Từ đây, ta thấy tâm của mặt cầu là $I(0, 3, -1)$ và bán kính $R = 0$.

Bước 3: Điều kiện tiếp xúc

Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, khoảng cách từ tâm $I(0, 3, -1)$ đến mặt phẳng phải bằng bán kính của mặt cầu. Do bán kính $R = 0$, điều này có nghĩa là tâm $I$ nằm trên mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm $I(0, 3, -1)$ đến mặt phẳng $x - 2y + 2z + D = 0$ được tính bằng công thức:
$$
d = \frac{|0 - 2 \times 3 + 2 \times (-1) + D|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}
$$

Tính toán:
$$
d = \frac{|-6 - 2 + D|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|D - 8|}{3}
$$

Vì $d = 0$ (do bán kính $R = 0$), ta có:
$$
\frac{|D - 8|}{3} = 0 \Rightarrow |D - 8| = 0 \Rightarrow D = 8
$$

Kết luận

Phương trình của mặt phẳng cần tìm là:
$$ x - 2y + 2z + 8 = 0 $$

viết phương trình mặt phẳng biết mặt phẳng song song với x - 2y + 2z + 5 = 0 và tiếp xúc mặt cầu: x^2 + (y -3)^2 + (z + 1)^2 = 0