Giúp vs ạ làm ơn

Để giải các bài toán tích phân này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. a) Tính tích phân \( \int \frac{e^x \, dx}{4 + e^{2x}} \) Bước 1: Đặt biến phụ Đặt \( t = e^x \), suy ra \( dt = e^x \, dx \). Khi đó, \( e^x \, dx = dt \). Bước 2: Thay đổi biến Tích phân trở thành: \[ \int \frac{dt}{4 + t^2} \] Bước 3: Nhận dạng dạng tích phân Tích phân này có dạng \( \int \frac{dt}{a^2 + t^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{t}{a}\right) + C \). Ở đây, \( a = 2 \), do đó: \[ \int \frac{dt}{4 + t^2} = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{t}{2}\right) + C \] Bước 4: Thay lại biến Thay \( t = e^x \) vào, ta được: \[ \int \frac{e^x \, dx}{4 + e^{2x}} = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{e^x}{2}\right) + C \] b) Tính tích phân \( \int \sqrt{9 - x^2} \, dx \) Bước 1: Đặt biến phụ Đặt \( x = 3\sin t \), suy ra \( dx = 3\cos t \, dt \). Bước 2: Thay đổi biến Khi đó, \( \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2 t} = 3\cos t \). Tích phân trở thành: \[ \int 3\cos t \cdot 3\cos t \, dt = 9 \int \cos^2 t \, dt \] Bước 3: Sử dụng công thức hạ bậc Sử dụng công thức \( \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} \), ta có: \[ 9 \int \cos^2 t \, dt = \frac{9}{2} \int (1 + \cos 2t) \, dt \] Bước 4: Tính tích phân Tính từng phần: \[ \frac{9}{2} \left( \int 1 \, dt + \int \cos 2t \, dt \right) = \frac{9}{2} \left( t + \frac{1}{2} \sin 2t \right) + C \] Bước 5: Thay lại biến Thay \( t = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) \), ta có: \[ \int \sqrt{9 - x^2} \, dx = \frac{9}{2} \left( \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{1}{2} \sin\left(2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)\right) \right) + C \] c) Tính tích phân \( \int_0^{\ln\sqrt{3}} \frac{dx}{\sqrt{e^{2x} + 1}} \) Bước 1: Đặt biến phụ Đặt \( t = e^x \), suy ra \( dt = e^x \, dx \) hay \( dx = \frac{dt}{t} \). Bước 2: Thay đổi biến Khi \( x = 0 \), \( t = 1 \) và khi \( x = \ln\sqrt{3} \), \( t = \sqrt{3} \). Tích phân trở thành: \[ \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}} \cdot \frac{dt}{t} \] Bước 3: Nhận dạng dạng tích phân Tích phân này có dạng \( \int \frac{dt}{t\sqrt{t^2 + 1}} \), có thể giải bằng cách đặt \( u = \ln(t + \sqrt{t^2 + 1}) \), nhưng ở đây ta có thể nhận thấy rằng: \[ \int \frac{dt}{t\sqrt{t^2 + 1}} = \text{arcsinh}\left(\frac{1}{t}\right) + C \] Bước 4: Tính tích phân Tính từ \( t = 1 \) đến \( t = \sqrt{3} \): \[ \left[ \text{arcsinh}\left(\frac{1}{t}\right) \right]_1^{\sqrt{3}} = \text{arcsinh}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \text{arcsinh}(1) \] Bước 5: Kết quả Kết quả của tích phân là: \[ \text{arcsinh}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \text{arcsinh}(1) \] Vậy, chúng ta đã giải quyết xong ba bài toán tích phân.