Giải bài tập

Cho bài toán: - Chu kì dao động: \( T = 0{,}25 \, s \) - Gốc tọa độ tại vị trí cân bằng - Gốc thời gian \( t=0 \) tại lúc vật có li độ \( x_0 = -2\sqrt{3} \, cm \) theo chiều dương, với tốc độ \( v_0 = 16\sqrt{3} \, cm/s \) Yêu cầu: Viết phương trình dao động điều hòa của vật. --- **Bước 1: Xác định tần số góc \(\omega\)** \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}25} = 8\pi \quad (rad/s) \] --- **Bước 2: Giả sử phương trình dao động:** \[ x = A \cos(\omega t + \varphi) \] Tại \( t=0 \), ta có: \[ x(0) = A \cos \varphi = -2\sqrt{3} \quad (1) \] Vận tốc: \[ v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] Tại \( t=0 \): \[ v(0) = -A \omega \sin \varphi = 16 \sqrt{3} \quad (2) \] --- **Bước 3: Giải hệ hai phương trình (1) và (2):** Từ (1): \[ A \cos \varphi = -2\sqrt{3} \] Từ (2): \[ - A \omega \sin \varphi = 16 \sqrt{3} \Rightarrow \sin \varphi = -\frac{16 \sqrt{3}}{A \omega} \] Thay \(\omega = 8\pi\): \[ \sin \varphi = -\frac{16 \sqrt{3}}{A \cdot 8\pi} = -\frac{2 \sqrt{3}}{A \pi} \] --- **Bước 4: Dùng phương trình lượng giác \(\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1\):** \[ \left(\frac{-2\sqrt{3}}{A}\right)^2 + \left(-\frac{2 \sqrt{3}}{A \pi}\right)^2 = 1 \] Tính: \[ \left(\frac{2\sqrt{3}}{A}\right)^2 + \left(\frac{2 \sqrt{3}}{A \pi}\right)^2 = 1 \] \[ \frac{4 \cdot 3}{A^2} + \frac{4 \cdot 3}{A^2 \pi^2} = 1 \] \[ \frac{12}{A^2} + \frac{12}{A^2 \pi^2} = 1 \] \[ \frac{12}{A^2} \left(1 + \frac{1}{\pi^2}\right) = 1 \] \[ \frac{12}{A^2} \cdot \frac{\pi^2 + 1}{\pi^2} = 1 \] \[ \frac{12 (\pi^2 +1)}{A^2 \pi^2} = 1 \] Suy ra: \[ A^2 = \frac{12 (\pi^2 + 1)}{\pi^2} \] Lấy căn: \[ A = \sqrt{12 \cdot \frac{\pi^2 + 1}{\pi^2}} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{\frac{\pi^2 +1}{\pi^2}} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{\pi^2 + 1}}{\pi} \] --- **Bước 5: Tính \(\cos \varphi\) và \(\sin \varphi\)** \[ \cos \varphi = \frac{-2 \sqrt{3}}{A} = \frac{-2 \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{\pi^2 +1}}{\pi}} = - \frac{\pi}{\sqrt{\pi^2 +1}} \] \[ \sin \varphi = - \frac{2 \sqrt{3}}{A \pi} = - \frac{2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{\pi^2 +1}}{\pi} \cdot \pi} = -\frac{1}{\sqrt{\pi^2 +1}} \] --- **Bước 6: Xác định góc \(\varphi\)** \[ \cos \varphi = - \frac{\pi}{\sqrt{\pi^2 +1}} < 0 \] \[ \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{\pi^2 +1}} < 0 \] Vậy \(\varphi\) nằm ở góc thứ ba (cả sin và cos đều âm). Ta tính \(\tan \varphi\): \[ \tan \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \frac{-1/\sqrt{\pi^2 +1}}{-\pi/\sqrt{\pi^2 +1}} = \frac{1}{\pi} \] Do đó: \[ \varphi = \pi + \arctan\left(\frac{1}{\pi}\right) \] --- **Kết luận:** Phương trình dao động là: \[ \boxed{ x = A \cos(\omega t + \varphi) = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{\pi^2 +1}}{\pi} \cos \left(8 \pi t + \pi + \arctan\left(\frac{1}{\pi}\right)\right) \quad (cm) } \] --- **Ghi chú:** - Ta có thể viết lại \(\varphi\) cho gọn hoặc dùng giá trị xấp xỉ số để dễ nhớ: \[ \pi \approx 3{,}1416 \quad \Rightarrow \quad \arctan \frac{1}{\pi} \approx \arctan 0{,}3183 \approx 0{,}308 \, rad \] \[ \varphi \approx 3{,}1416 + 0{,}308 = 3{,}4496 \, rad \] \[ A \approx 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{9{,}8696 + 1}}{3{,}1416} = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{10{,}8696}}{3{,}1416} = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3{,}297}{3{,}1416} \approx 2 \sqrt{3} \times 1{,}049 = 3{,}634 \, cm \] Vậy: \[ x \approx 3{,}63 \cos (8 \pi t + 3{,}45) \, (cm) \] --- **Tóm tắt đáp án:** \[ \boxed{ \begin{cases} \omega = 8 \pi \, rad/s \\ A = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{\pi^2 +1}}{\pi} \approx 3{,}63 \, cm \\ \varphi = \pi + \arctan \left(\frac{1}{\pi}\right) \approx 3{,}45 \, rad \\ \Rightarrow x = A \cos(\omega t + \varphi) \end{cases} } \] Đây là phương trình dao động điều hòa của vật.