Giải bài tập

Đề bài: Một vật dao động điều hòa với chu kì \( T = 0{,}25 \) s. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, gốc thời gian là lúc vật có li độ \( x_0 = -2\sqrt{3} \) cm (theo chiều dương) và tốc độ \( v_0 = 16\sqrt{x} \) cm/s (ở đây có thể bạn viết nhầm, tôi giả sử là \( v_0 = 16\sqrt{3} \) cm/s). Viết phương trình dao động của vật. --- **Bước 1: Xác định các dữ kiện đã cho** - Chu kỳ: \( T = 0{,}25 \) s - Li độ ban đầu tại \( t=0 \): \( x(0) = -2\sqrt{3} \) cm - Vận tốc ban đầu tại \( t=0 \): \( v(0) = 16\sqrt{3} \) cm/s - Gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, gốc thời gian là lúc đo li độ và vận tốc. --- **Bước 2: Tính tần số góc \(\omega\)** \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}25} = 8\pi \quad \text{(rad/s)} \] --- **Bước 3: Giả sử phương trình dao động:** Vì gốc thời gian là lúc vật có li độ và vận tốc cho trước, phương trình dao động có dạng tổng quát: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] Tại \( t=0 \): \[ x(0) = A \cos \varphi = -2\sqrt{3} \] Đạo hàm để tìm vận tốc: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] Tại \( t=0 \): \[ v(0) = -A \omega \sin \varphi = 16\sqrt{3} \] --- **Bước 4: Giải hệ phương trình tìm \( A \) và \(\varphi\)** Hệ phương trình: \[ \begin{cases} A \cos \varphi = -2\sqrt{3} \\ -A \omega \sin \varphi = 16\sqrt{3} \end{cases} \] Thay \(\omega = 8\pi\): \[ \begin{cases} A \cos \varphi = -2\sqrt{3} \quad (1) \\ - A \cdot 8\pi \sin \varphi = 16 \sqrt{3} \quad (2) \end{cases} \] Từ (2): \[ -8\pi A \sin \varphi = 16\sqrt{3} \Rightarrow A \sin \varphi = -\frac{16\sqrt{3}}{8\pi} = -\frac{2\sqrt{3}}{\pi} \] --- **Bước 5: Tính \( A \)** Ta có: \[ A^2 = (A \cos \varphi)^2 + (A \sin \varphi)^2 = (-2\sqrt{3})^2 + \left(-\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = 4 \times 3 + \frac{4 \times 3}{\pi^2} = 12 + \frac{12}{\pi^2} \] \[ A = \sqrt{12 + \frac{12}{\pi^2}} = \sqrt{12 \left(1 + \frac{1}{\pi^2}\right)} = 2\sqrt{3} \sqrt{1 + \frac{1}{\pi^2}} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{\pi^2 + 1}}{\pi} \] --- **Bước 6: Tính \(\varphi\)** Từ (1) và (2): \[ \cos \varphi = \frac{-2\sqrt{3}}{A}, \quad \sin \varphi = \frac{-2\sqrt{3}}{A \pi} \] Tính \(\tan \varphi\): \[ \tan \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \frac{-2\sqrt{3}/(A \pi)}{-2\sqrt{3}/A} = \frac{1}{\pi} \] Coi \(\varphi\) thuộc góc nào? \(\cos \varphi < 0\), \(\sin \varphi < 0\) tức là \(\varphi\) ở góc phần tư thứ ba (180°-270° hay \(\pi\) đến \(3\pi/2\)). \[ \varphi = \pi + \arctan \frac{1}{\pi} \] --- **Bước 7: Viết phương trình dao động** \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{\pi^2 + 1}}{\pi} \cdot \cos\left(8\pi t + \pi + \arctan \frac{1}{\pi}\right) \] Hoặc viết gọn: \[ x(t) = A \cos(8\pi t + \varphi) \] với: \[ A = 2\sqrt{3} \frac{\sqrt{\pi^2 + 1}}{\pi}, \quad \varphi = \pi + \arctan \frac{1}{\pi} \] --- **Kết luận:** Phương trình dao động của vật là: \[ \boxed{ x(t) = 2\sqrt{3} \frac{\sqrt{\pi^2 + 1}}{\pi} \cdot \cos\left(8\pi t + \pi + \arctan \frac{1}{\pi}\right) \quad \text{(cm)} } \] --- **Lưu ý:** Nếu vận tốc ban đầu là \( v_0 = 16 \sqrt{3} \) cm/s như giả sử trên, kết quả đúng như trên. Nếu vận tốc khác, bạn cần cung cấp rõ ràng để tính lại.