Giải bài tập

Đề bài cho phương trình vận tốc của vật dao động điều hòa trên trục Ox: \[ v = 50\pi \cos(5\pi t + \frac{\pi}{6}) \quad (cm/s) \] **Bài toán: Viết phương trình dao động của vật.** --- ### Bước 1: Xác định tần số góc \(\omega\) Từ phương trình vận tốc: \[ v = V_0 \cos(\omega t + \varphi) \] Ta có: \[ \omega = 5\pi \quad (rad/s) \] --- ### Bước 2: Liên hệ giữa vận tốc và li độ Phương trình dao động điều hòa có dạng: \[ x = A \cos(\omega t + \varphi_x) \] Vận tốc là đạo hàm theo thời gian của li độ: \[ v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_x) \] Nhưng trong đề bài, vận tốc được cho là: \[ v = 50\pi \cos(5\pi t + \frac{\pi}{6}) \] Có sự khác biệt về hàm cos và sin. Ta cần viết lại vận tốc dưới dạng sin hoặc cos để so sánh. Nhớ rằng: \[ \cos\theta = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) \] Do đó: \[ v = 50\pi \cos(5\pi t + \frac{\pi}{6}) = 50\pi \sin\left(5\pi t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right) = 50\pi \sin\left(5\pi t + \frac{2\pi}{3}\right) \] Theo công thức đạo hàm: \[ v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_x) \] So sánh với biểu thức trên: \[ v = 50\pi \sin(5\pi t + \frac{2\pi}{3}) = -A \omega \sin(5\pi t + \varphi_x) \] Nhận thấy: \[ \sin(5\pi t + \frac{2\pi}{3}) = - \sin(5\pi t + \varphi_x) \implies \varphi_x = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3} \] (Do \(\sin \alpha = - \sin \beta \implies \alpha = \beta + \pi\)) --- ### Bước 3: Tính biên độ \(A\) So sánh hệ số: \[ 50 \pi = A \omega = A \cdot 5\pi \implies A = \frac{50 \pi}{5 \pi} = 10 \quad (cm) \] --- ### Bước 4: Viết phương trình dao động Phương trình dao động là: \[ x = A \cos(\omega t + \varphi_x) = 10 \cos\left(5 \pi t + \frac{5\pi}{3}\right) \quad (cm) \] --- ### Kết luận: Phương trình dao động của vật là: \[ \boxed{x = 10 \cos\left(5 \pi t + \frac{5 \pi}{3}\right) \quad (cm)} \]