Giải bài tập

Cho phương trình dao động điều hòa: \[ x = 10 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{4}) \, (cm) \] Ta cần tìm thời điểm \( t > 0 \) sao cho vật đi qua vị trí có li độ \( x = -5 \, cm \) lần đầu tiên kể từ lúc \( t=0 \). --- **Bước 1: Thiết lập phương trình theo \( t \)** \[ x = 10 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{4}) = -5 \] Chia hai vế cho 10: \[ \cos(4\pi t + \frac{\pi}{4}) = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2} \] --- **Bước 2: Giải phương trình lượng giác** Ta cần tìm \( \theta = 4\pi t + \frac{\pi}{4} \) sao cho: \[ \cos \theta = -\frac{1}{2} \] Biết rằng: \[ \cos \theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- **Bước 3: Tìm nghiệm \( t \) từ \( \theta \)** \[ 4\pi t + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 4\pi t + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \] Giải từng trường hợp: 1) Với \(\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\): \[ 4\pi t = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi - \frac{\pi}{4} = 2k\pi + \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) \] Tính \(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\): \[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \] Do đó: \[ 4\pi t = 2k\pi + \frac{5\pi}{12} \Rightarrow t = \frac{2k\pi + \frac{5\pi}{12}}{4\pi} = \frac{2k\pi}{4\pi} + \frac{5\pi/12}{4\pi} = \frac{k}{2} + \frac{5}{48} \] --- 2) Với \(\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\): \[ 4\pi t = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi - \frac{\pi}{4} = 2k\pi + \left(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) \] Tính \(\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\): \[ \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{16\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} \] Do đó: \[ 4\pi t = 2k\pi + \frac{13\pi}{12} \Rightarrow t = \frac{2k\pi + \frac{13\pi}{12}}{4\pi} = \frac{k}{2} + \frac{13}{48} \] --- **Bước 4: Tìm thời điểm \( t > 0 \) nhỏ nhất** Với \( k=0 \): - Trường hợp 1: \( t = \frac{5}{48} \approx 0.1042 \, s \) - Trường hợp 2: \( t = \frac{13}{48} \approx 0.2708 \, s \) Thời điểm đầu tiên là \( t = \frac{5}{48} \, s \approx 0.1042 \, s \). --- **Đáp số:** Vật đi qua vị trí \( x = -5\, cm \) lần đầu tiên tại thời điểm \[ \boxed{t = \frac{5}{48} \, s \approx 0,104 \, s} \]