Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài tập 1: Để giải quyết các bài toán về vectơ trong hình bình hành, ta cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và trung điểm. Dưới đây là lời giải cho từng trường hợp: a) \(2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC}\) - Trong hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, \(O\) là trung điểm của \(AC\). - Suy ra: \(\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\). - Vậy: \(2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC}\). b) \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD}\) - Từ tính chất của hình bình hành, ta có \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AC}\). - Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\), nên \(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\). - Vậy: \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD}\) là không đúng. c) \(2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}\) - \(M\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - Vậy: \(2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}\). d) \(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BM}\) - Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\). - Vậy: \(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BM}\). Tóm lại, các kết quả đúng là: - a) \(2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC}\) - c) \(2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}\) - d) \(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BM}\) Bài tập 2: Chúng ta sẽ giải quyết từng phép toán một cách chi tiết: a) \(2(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = 2\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}\) - Quy tắc phân phối của phép nhân với vector: \(k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\). b) \((a-b)\overrightarrow{m}\) - Đây là phép nhân một số với vector, không có gì cần thay đổi: \((a-b)\overrightarrow{m}\). c) \(7(-3\overrightarrow{c}) = -21\overrightarrow{c}\) - Nhân số với vector: \(7 \times (-3) = -21\). d) \(\overrightarrow{c} + 7\overrightarrow{c} = 8\overrightarrow{c}\) - Cộng các vector cùng hướng: \(1\overrightarrow{c} + 7\overrightarrow{c} = 8\overrightarrow{c}\). e) \(\overrightarrow{9c-7c} = 2\overrightarrow{c}\) - Trừ các vector cùng hướng: \(9\overrightarrow{c} - 7\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c}\). f) \(-3(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = -3\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}\) - Quy tắc phân phối: \(-3(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = -3\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}\). g) \((2a+b)\overrightarrow{n} = 2a\overrightarrow{n} + b\overrightarrow{n}\) - Quy tắc phân phối: \((2a+b)\overrightarrow{n} = 2a\overrightarrow{n} + b\overrightarrow{n}\). h) \(-3\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\right) = -2\overrightarrow{c}\) - Nhân số với vector: \(-3 \times \frac{2}{3} = -2\). i) \(\overrightarrow{2a+7a} = 9\overrightarrow{a}\) - Cộng các vector cùng hướng: \(2\overrightarrow{a} + 7\overrightarrow{a} = 9\overrightarrow{a}\). j) \(3\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} = \frac{8}{3}\overrightarrow{b}\) - Quy đồng và trừ các vector: \(3\overrightarrow{b} = \frac{9}{3}\overrightarrow{b}\), do đó \(\frac{9}{3}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} = \frac{8}{3}\overrightarrow{b}\). Hình ảnh không liên quan đến bài toán vector, nên không cần xử lý thêm. Bài tập 3: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của tổng hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ trong hình chữ nhật $ABCD$. 1. Tính độ dài các đường chéo: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau. Ta có: \[ AC = BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 2. Tính tổng hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$: Do $O$ là tâm của hình chữ nhật, nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$. Do đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{OC}$. 3. Tính độ dài của $\overrightarrow{OC}$: Vì $O$ là trung điểm của $AC$, nên $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Do đó: \[ |\overrightarrow{OC}| = \frac{1}{2} \times |AC| = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2} \] 4. Tính độ dài của $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$: Từ bước 2, ta có: \[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}| = |2\overrightarrow{OC}| = 2 \times |\overrightarrow{OC}| = 2 \times \frac{5}{2} = 5 \] Vậy, độ dài của $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ là 5. Bài tập 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ để tìm các điểm K và M thỏa mãn các điều kiện đã cho. a) Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{CB}\) 1. Biểu diễn vectơ: - Ta có \(\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A}\) - \(\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{B}\) - \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}\) 2. Thay vào phương trình: \[ \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} + 2(\overrightarrow{K} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] 3. Rút gọn phương trình: \[ \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{K} - 2\overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] \[ 3\overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] 4. Chuyển vế và nhóm các hạng tử: \[ 3\overrightarrow{K} = \overrightarrow{A} + 3\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] 5. Tìm \(\overrightarrow{K}\): \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + 3\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) \] Vậy, điểm K thỏa mãn điều kiện là điểm có tọa độ \(\overrightarrow{K} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + 3\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C})\). b) Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}\) 1. Biểu diễn vectơ: - \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}\) - \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}\) - \(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}\) 2. Thay vào phương trình: \[ (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}) + 2(\overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{0} \] 3. Rút gọn phương trình: \[ \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} + \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{C} = \overrightarrow{0} \] \[ 4\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{C} = \overrightarrow{0} \] 4. Chuyển vế và nhóm các hạng tử: \[ 4\overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{C} \] 5. Tìm \(\overrightarrow{M}\): \[ \overrightarrow{M} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{C}) \] Vậy, điểm M thỏa mãn điều kiện là điểm có tọa độ \(\overrightarrow{M} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{C})\). Bài tập 5: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Phân tích bài toán: Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại $B$, với góc $A = 30^\circ$ và $AB = a$. Ta cần tính độ dài của các vectơ tổng và các đoạn thẳng liên quan. a) Tính $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |BD| = BD = 2a\sqrt{3}$ 1. Xác định các cạnh của tam giác: - Vì $\Delta ABC$ vuông tại $B$ và $A = 30^\circ$, ta có: \[ \angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] - Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: \[ BC = AB \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \] \[ AC = AB \cdot \frac{1}{\cos(30^\circ)} = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] 2. Tính $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}|$: - Vectơ $\overrightarrow{BA}$ có độ dài $a$ và hướng từ $B$ đến $A$. - Vectơ $\overrightarrow{BC}$ có độ dài $\frac{a}{\sqrt{3}}$ và hướng từ $B$ đến $C$. - Tổng của hai vectơ này là một vectơ có độ dài: \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] 3. Kết luận: - Độ dài $BD = 2a\sqrt{3}$ là không chính xác theo cách tính trên. Có thể có nhầm lẫn trong đề bài hoặc cách diễn đạt. b) Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AE}| = AE$ 1. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có độ dài $a$ và hướng từ $A$ đến $B$. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có độ dài $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ và hướng từ $A$ đến $C$. - Tổng của hai vectơ này là một vectơ có độ dài: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = \frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{3}} \] 2. Kết luận: - Độ dài $AE = \frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{3}}$. Tổng kết: - a) Đề bài có thể có nhầm lẫn, cần kiểm tra lại. - b) Độ dài $AE = \frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{3}}$. Bài tập 6: Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý sin trong tam giác. Cho tam giác đều \( \triangle ABC \) với cạnh \( a \). Ta cần tính \( \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{BD}{\sin 90^\circ} \). Bước 1: Xác định các góc trong tam giác - Tam giác đều \( \triangle ABC \) có các góc bằng \( 60^\circ \). - Góc \( \angle BDC = 90^\circ \) vì \( D \) là điểm trên đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Bước 2: Áp dụng định lý sin Theo định lý sin trong tam giác \( \triangle BDC \): \[ \frac{BD}{\sin 90^\circ} = \frac{BC}{\sin 60^\circ} \] Vì \( \sin 90^\circ = 1 \) và \( BC = a \), ta có: \[ \frac{BD}{1} = \frac{a}{\sin 60^\circ} \] Bước 3: Tính toán Ta biết \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), do đó: \[ \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] Vậy, \( BD = \frac{2a}{\sqrt{3}} \). Kết luận Giá trị của \( BD \) là \( \frac{2a}{\sqrt{3}} \).