Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài tập 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ và trọng tâm tam giác. a) Xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0.$ Ta có phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0 \] Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC} \] Sử dụng tính chất của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}, \quad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}, \quad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM} \] Thay vào phương trình, ta có: \[ (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}) = -2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM}) \] Rút gọn, ta được: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OM} = -2\overrightarrow{OC} + 2\overrightarrow{OM} \] Chuyển vế, ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM} \] Từ đây, ta thấy rằng điểm M chính là trọng tâm của tam giác ABC, vì trọng tâm là điểm chia các đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1. b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}.$ Từ phần a), ta đã có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM} \] Điều này đúng với mọi điểm O, vì phương trình này không phụ thuộc vào vị trí của điểm O. Nó chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm M là trọng tâm của tam giác ABC. Vậy, ta đã chứng minh được rằng với mọi điểm O, phương trình $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}$ luôn đúng. Bài tập 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Xác định điểm K sao cho \(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\). Ta có phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \] Điều này tương đương với: \[ \overrightarrow{KA} = -2\overrightarrow{KB} \] Sử dụng tính chất của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{KA} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{B} \] Thay vào phương trình, ta có: \[ \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = -2(\overrightarrow{K} - \overrightarrow{B}) \] Giải phương trình này: \[ \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = -2\overrightarrow{K} + 2\overrightarrow{B} \] Chuyển vế, ta có: \[ 3\overrightarrow{K} = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B} \] Vậy điểm \(K\) là điểm chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ lệ \(1:2\). b) Chứng minh rằng với mọi điểm O ta luôn có \(\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\). Từ kết quả phần a, ta có: \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B} \] Xét điểm \(O\), ta có: \[ \overrightarrow{OK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{O} \] Thay \(\overrightarrow{K}\) vào, ta được: \[ \overrightarrow{OK} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B}\right) - \overrightarrow{O} \] Sử dụng tính chất của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{O}) + \frac{2}{3}(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{O}) \] \[ \overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} \] Vậy, với mọi điểm \(O\), ta luôn có: \[ \overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} \] Điều này chứng minh yêu cầu của bài toán. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng đẳng thức vectơ được cho và kiểm tra xem đẳng thức nào là đúng. Giả sử \( A \) và \( B \) là hai điểm trên mặt phẳng, và \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Theo định nghĩa của trung điểm, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} \] Điều này có nghĩa là vectơ từ \( A \) đến \( M \) bằng vectơ từ \( M \) đến \( B \). Do đó, đẳng thức \( B.~\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB} \) là đúng. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các đẳng thức khác: 1. Đẳng thức A: \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA}\) - Ta có \(\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}\). - Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{AM}\). - Suy ra, \(\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{MA}\), không phải là \(2\overrightarrow{MA}\). 2. Đẳng thức C: \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}\) - Từ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\), ta có: \[ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM} \] - Suy ra, \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). 3. Đẳng thức D: \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BM}\) - Tương tự như trên, \(\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{MB}\). - Vì \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\), nên \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MB}\), không phải là \(2\overrightarrow{BM}\). Kết luận: Đẳng thức đúng là \( C.~\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB} \). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các đẳng thức vector dựa trên hình vẽ. 1. Phân tích hình vẽ: - Điểm \( I \) nằm giữa \( A \) và \( B \). - Vector \( \overrightarrow{AB} \) có hướng từ \( A \) đến \( B \). - Vector \( \overrightarrow{AI} \) có hướng từ \( A \) đến \( I \). - Vector \( \overrightarrow{IA} \) có hướng từ \( I \) đến \( A \). 2. Xét các đẳng thức: - A. \( \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AI} \): Điều này có nghĩa là vector \( \overrightarrow{AB} \) gấp 3 lần vector \( \overrightarrow{AI} \) và cùng hướng. Điều này đúng vì \( I \) nằm trên đoạn \( AB \) và \( AI \) là một phần ba của \( AB \). - B. \( \overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{IA} \): Điều này có nghĩa là vector \( \overrightarrow{AB} \) gấp 3 lần vector \( \overrightarrow{IA} \) nhưng ngược hướng. Điều này không đúng vì \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{IA} \) không cùng hướng. - C. \( \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \): Điều này có nghĩa là vector \( \overrightarrow{AI} \) bằng một phần ba vector \( \overrightarrow{AB} \) và cùng hướng. Điều này đúng vì \( AI \) là một phần ba của \( AB \). - D. \( \overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{AI} \): Điều này có nghĩa là vector \( \overrightarrow{AB} \) gấp 3 lần vector \( \overrightarrow{AI} \) nhưng ngược hướng. Điều này không đúng vì \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AI} \) cùng hướng. 3. Kết luận: - Đẳng thức đúng là \( \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AI} \) và \( \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \). Vậy đáp án đúng là A và C. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đẳng thức vectơ $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$. 1. Phân tích đẳng thức vectơ: - Đẳng thức $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$ có nghĩa là vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$ và có độ dài bằng $|k|$ lần độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$. - Điều này có nghĩa là độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được tính bằng $|\overrightarrow{a}| = |k|\cdot|\overrightarrow{b}|$. 2. Xét các lựa chọn: - A. $|\overrightarrow{a}| = k|\overrightarrow{b}|$: Lựa chọn này chỉ đúng khi $k$ là số dương, vì độ dài không thể âm. Do đó, lựa chọn này không đúng trong mọi trường hợp. - B. $|\overrightarrow{a}| = |k\|\overrightarrow{b}|$: Lựa chọn này không có ý nghĩa rõ ràng vì có lỗi cú pháp. - C. $|\overrightarrow{a}| = -k|\overrightarrow{b}|$: Lựa chọn này không đúng vì độ dài của vectơ không thể là số âm. - D. $\overrightarrow{a} = |k|\overrightarrow{b}$: Lựa chọn này không đúng vì nó không thể hiện đúng mối quan hệ giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi $k$ âm. 3. Kết luận: - Đáp án đúng là không có trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu xét về độ dài, ta có $|\overrightarrow{a}| = |k|\cdot|\overrightarrow{b}|$, điều này không khớp hoàn toàn với bất kỳ lựa chọn nào đã cho. Vì vậy, trong các lựa chọn đã cho, không có lựa chọn nào hoàn toàn chính xác. Tuy nhiên, nếu cần chọn một đáp án gần đúng nhất, ta có thể chọn A với điều kiện $k$ là số dương. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của trọng tâm và trung điểm trong tam giác. 1. Trọng tâm của tam giác: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, với tỉ lệ \( 2:1 \), tức là \( \overrightarrow{GA} = \frac{2}{3}\overrightarrow{GM} \) và \( \overrightarrow{GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{GA} \). 2. Trung điểm của đoạn thẳng: Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \) có tính chất \( \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA}\) - Sử dụng tính chất của trọng tâm, ta có: \[ \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} \] - Cộng hai vế: \[ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] - Mệnh đề này không đúng vì không thể đơn giản thành \(\overrightarrow{GA}\). B. \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA}\) - Từ kết quả trên, ta thấy: \[ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] - Mệnh đề này không đúng vì không thể đơn giản thành \(2\overrightarrow{GA}\). C. \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}\) - Sử dụng tính chất của trung điểm và trọng tâm: \[ \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB} \] \[ \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MC} \] - Cộng hai vế: \[ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MC}) = 2\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \] - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}\), do đó: \[ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] - Vậy: \[ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM} \] - Mệnh đề này đúng. D. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AM}\) - Sử dụng tính chất của trung điểm: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] - Nhân hai vế với 3: \[ 3\overrightarrow{AM} = \frac{3}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] - Mệnh đề này không đúng vì không thể đơn giản thành \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). Kết luận: Mệnh đề đúng là C. \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}\). Câu 5: Để xác định khẳng định nào sai, ta cần phân tích từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho: $\overrightarrow a = -3\overrightarrow b$ và $\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$. 1. Khẳng định A: Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng. - Ta có $\overrightarrow a = -3\overrightarrow b$, điều này có nghĩa là $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó, khẳng định A là đúng. 2. Khẳng định B: $|\overrightarrow a| = 3|\overrightarrow b|$. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow a$ là $|\overrightarrow a| = |-3|\cdot|\overrightarrow b| = 3|\overrightarrow b|$. Do đó, khẳng định B là đúng. 3. Khẳng định C: Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương. - Như đã phân tích ở khẳng định A, $\overrightarrow a = -3\overrightarrow b$ cho thấy $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương. Do đó, khẳng định C là đúng. 4. Khẳng định D: Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng. - Vì $\overrightarrow a = -3\overrightarrow b$, nên $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng, không thể cùng hướng. Do đó, khẳng định D là sai. Kết luận: Khẳng định sai là D. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về trọng tâm của tam giác và các tính chất của vectơ. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là điểm giao của ba đường trung tuyến. Đặc điểm của trọng tâm là nó chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm có độ dài bằng \( \frac{2}{3} \) độ dài của đường trung tuyến. Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( \overrightarrow{AM} \) là một đường trung tuyến của tam giác \( ABC \). Theo tính chất của trọng tâm, ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\) Để kiểm tra điều này, ta cần nhớ rằng: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] Do đó: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] Vậy đáp án A là đúng. B. \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\) Điều này không đúng vì như đã chứng minh ở trên, \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\). C. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM}\) Điều này không đúng vì \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\). D. \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AM}\) Điều này không đúng vì \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\). Kết luận: Đáp án đúng là A. \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\).