Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài tập 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ và trọng tâm của tam giác. a) Xác định điểm M để \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\). Ta có phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} \] Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC} \] Sử dụng tính chất của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}, \quad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}, \quad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM} \] Thay vào phương trình, ta có: \[ (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}) = -2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM}) \] Rút gọn, ta được: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OM} = -2\overrightarrow{OC} + 2\overrightarrow{OM} \] Chuyển vế, ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM} \] Từ đây, ta thấy rằng điểm \(M\) chính là trọng tâm của tam giác \(ABC\), vì trọng tâm có tính chất: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG} \] Với \(G\) là trọng tâm, và trong trường hợp này, \(M\) là điểm thỏa mãn điều kiện trên. b) Chứng minh rằng với mọi điểm \(O\), ta có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}\). Từ phần a), ta đã có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM} \] Điều này đã được chứng minh khi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Do đó, với mọi điểm \(O\), phương trình này luôn đúng khi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Vậy, điểm \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và điều kiện đã cho được thỏa mãn. Bài tập 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Xác định điểm K sao cho \(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}\). Ta có phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{KA} = -2\overrightarrow{KB} \] Sử dụng tính chất của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{KA} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{B} \] Thay vào phương trình, ta có: \[ \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = -2(\overrightarrow{K} - \overrightarrow{B}) \] Giải phương trình này: \[ \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = -2\overrightarrow{K} + 2\overrightarrow{B} \] Chuyển vế và thu gọn: \[ 3\overrightarrow{K} = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B} \] Vậy điểm \(K\) là điểm chia đoạn \(AB\) theo tỉ lệ \(1:2\). b) Chứng minh rằng với mọi điểm O ta luôn có \(\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\). Từ kết quả phần a, ta có: \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B} \] Xét điểm \(O\), ta có: \[ \overrightarrow{OK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{O} \] Thay \(\overrightarrow{K}\) vào, ta được: \[ \overrightarrow{OK} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B}\right) - \overrightarrow{O} \] Sử dụng tính chất của vectơ: \[ \overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{O}) + \frac{2}{3}(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{O}) \] \[ \overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng với mọi điểm \(O\), \(\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\). Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các vectơ và mối quan hệ giữa chúng khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 1. Xét đẳng thức A: \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MA}\) - Vectơ \(\overrightarrow{MA}\) là vectơ từ M đến A. Vì M là trung điểm của AB, nên \(\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MA}\). - Đẳng thức này không đúng vì \(\overrightarrow{AB}\) không thể bằng \(2\overrightarrow{MA}\). 2. Xét đẳng thức B: \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\) - Vì M là trung điểm của AB, nên \(\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{MB}\). - Đẳng thức này không đúng vì \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{MB}\) có độ dài bằng nhau nhưng ngược hướng. 3. Xét đẳng thức C: \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) - Vì M là trung điểm của AB, nên \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - Đẳng thức này đúng vì M chia đoạn AB thành hai đoạn bằng nhau. 4. Xét đẳng thức D: \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BM}\) - Vectơ \(\overrightarrow{BM}\) là vectơ từ B đến M. Vì M là trung điểm của AB, nên \(\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{MA}\). - Đẳng thức này không đúng vì \(\overrightarrow{AB}\) không thể bằng \(2\overrightarrow{BM}\). Kết luận: Đẳng thức đúng là C: \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các đẳng thức vector dựa trên hình vẽ. 1. Phân tích hình vẽ: - Điểm \( I \) nằm giữa \( A \) và \( B \). - Vector \(\overrightarrow{AB}\) có hướng từ \( A \) đến \( B \). - Vector \(\overrightarrow{AI}\) có hướng từ \( A \) đến \( I \). - Vector \(\overrightarrow{IA}\) có hướng từ \( I \) đến \( A \). 2. Phân tích các đẳng thức: - A. \(\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AI}\): Điều này có nghĩa là độ dài của \(\overrightarrow{AB}\) gấp 3 lần độ dài của \(\overrightarrow{AI}\) và cùng hướng. Điều này có thể đúng nếu \( I \) là điểm chia đoạn \( AB \) theo tỉ lệ 1:3. - B. \(\overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{IA}\): Điều này có nghĩa là độ dài của \(\overrightarrow{AB}\) gấp 3 lần độ dài của \(\overrightarrow{IA}\) nhưng ngược hướng. Điều này không đúng vì \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{IA}\) không ngược hướng. - C. \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\): Điều này có nghĩa là độ dài của \(\overrightarrow{AI}\) bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài của \(\overrightarrow{AB}\) và cùng hướng. Điều này có thể đúng nếu \( I \) là điểm chia đoạn \( AB \) theo tỉ lệ 1:3. - D. \(\overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{AI}\): Điều này có nghĩa là độ dài của \(\overrightarrow{AB}\) gấp 3 lần độ dài của \(\overrightarrow{AI}\) nhưng ngược hướng. Điều này không đúng vì \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AI}\) không ngược hướng. 3. Kết luận: - Đẳng thức đúng là C. \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đẳng thức vectơ $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$. 1. Phân tích đẳng thức vectơ: - Đẳng thức $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$ có nghĩa là vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$ và có độ dài bằng $|k|$ lần độ dài của $\overrightarrow{b}$. - Hệ số $k$ có thể là một số dương, âm hoặc bằng 0. 2. Xét độ dài của vectơ: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $|\overrightarrow{a}|$. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $|\overrightarrow{b}|$. - Từ đẳng thức $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$, ta có $|\overrightarrow{a}| = |k|\cdot|\overrightarrow{b}|$. 3. Phân tích các lựa chọn: - A. $|\overrightarrow{a}| = k|\overrightarrow{b}|$: Sai, vì $k$ có thể âm, trong khi độ dài vectơ luôn không âm. - B. $|\overrightarrow{a}| = |k|\cdot|\overrightarrow{b}|$: Đúng, vì độ dài của $\overrightarrow{a}$ là $|k|$ lần độ dài của $\overrightarrow{b}$. - C. $|\overrightarrow{a}| = -k|\overrightarrow{b}|$: Sai, vì độ dài vectơ không thể âm. - D. $\overrightarrow{a} = |k|\overrightarrow{b}$: Sai, vì $\overrightarrow{a}$ có thể ngược hướng với $\overrightarrow{b}$ nếu $k$ âm. Vậy, đẳng thức vectơ đúng là: B. $|\overrightarrow{a}| = |k|\cdot|\overrightarrow{b}|$. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về vectơ và trọng tâm của tam giác. Trước tiên, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản: 1. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là điểm thỏa mãn: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \] và \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] 2. Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \) là điểm thỏa mãn: \[ \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \] Bây giờ, ta sẽ phân tích từng mệnh đề: Mệnh đề A: \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA}\) - Từ \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\), ta có: \[ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -\overrightarrow{GA} \] Mệnh đề này không đúng vì \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -\overrightarrow{GA}\), không phải \(\overrightarrow{GA}\). Mệnh đề B: \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA}\) - Như đã phân tích ở trên, \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -\overrightarrow{GA}\), không phải \(2\overrightarrow{GA}\). Mệnh đề này không đúng. Mệnh đề C: \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}\) - Ta có: \[ \overrightarrow{GM} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \] \[ = \frac{2(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) - 3(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})}{6} \] \[ = \frac{2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{6} \] \[ = \frac{2}{3}\overrightarrow{GA} \] Do đó, \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}\) là đúng. Mệnh đề D: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AM}\) - Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{A} \] \[ = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{A}}{2} \] \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{A} \] \[ = 2(\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}) = 2\overrightarrow{AM} \] Mệnh đề này không đúng vì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\), không phải \(3\overrightarrow{AM}\). Kết luận: Mệnh đề đúng là mệnh đề C: \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}\). Câu 5: Để xác định khẳng định nào sai, ta cần phân tích từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho: $\overrightarrow a = -3\overrightarrow b$ và $\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$. 1. Khẳng định A: Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng. - Ta có $\overrightarrow a = -3\overrightarrow b$, điều này có nghĩa là $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó, khẳng định A là đúng. 2. Khẳng định B: $|\overrightarrow a| = 3|\overrightarrow b|$. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow a$ là $|\overrightarrow a| = |-3|\cdot|\overrightarrow b| = 3|\overrightarrow b|$. Do đó, khẳng định B là đúng. 3. Khẳng định C: Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương. - Vì $\overrightarrow a = -3\overrightarrow b$, nên $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương. Do đó, khẳng định C là đúng. 4. Khẳng định D: Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng. - Như đã phân tích ở khẳng định A, $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng. Do đó, khẳng định D là sai. Vậy, khẳng định sai là khẳng định D: Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về trọng tâm của tam giác và các tính chất của vectơ. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, với tỉ lệ \( 2:1 \), tức là \( AG:GM = 2:1 \). 1. Xét đáp án A: \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\) Trọng tâm \( G \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh của tam giác, do đó: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] Đáp án A là đúng. 2. Xét đáp án B: \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\) Như đã phân tích ở trên, \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\), do đó đáp án B là sai. 3. Xét đáp án C: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM}\) Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\), do đó đáp án C là sai. 4. Xét đáp án D: \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AM}\) Như đã phân tích, \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\), do đó đáp án D là sai. Kết luận: Đáp án đúng là A. \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\).