hãy giải giúp mình các câu tô vàng ở phần 3 tự luận

Câu 4: Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng phần: a) Toạ độ vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được tính bằng cách lấy toạ độ điểm B trừ đi toạ độ điểm A. Cụ thể: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (3 - 1, 1 - 2) = (2, -1) \] Vậy toạ độ vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((2, -1)\). Câu a) đúng. b) Độ dài đoạn thẳng AB: Độ dài đoạn thẳng AB được tính bằng công thức: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Vậy độ dài đoạn thẳng AB là \(\sqrt{5}\). Câu b) sai. c) Tam giác OAB là tam giác đều: Để tam giác OAB là tam giác đều, ba cạnh OA, OB, và AB phải có độ dài bằng nhau. - Độ dài OA: \[ OA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] - Độ dài OB: \[ OB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] Như vậy, OA = \(\sqrt{5}\), OB = \(\sqrt{10}\), và AB = \(\sqrt{5}\). Do đó, tam giác OAB không phải là tam giác đều. Câu c) sai. d) Với điểm \(C(2;-1)\) thì tứ giác ABCD là một hình vuông: Để tứ giác ABCD là một hình vuông, các cạnh phải bằng nhau và các góc phải là góc vuông. - Toạ độ điểm D chưa được cho, nên không thể xác định tứ giác ABCD có phải là hình vuông hay không chỉ với thông tin về điểm C. Do đó, câu d) không thể xác định là đúng hay sai mà cần thêm thông tin về điểm D. Tóm lại: - Câu a) đúng. - Câu b) sai. - Câu c) sai. - Câu d) không thể xác định với thông tin hiện tại. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm tọa độ $\overrightarrow x$ và $\overrightarrow y$ Tìm tọa độ $\overrightarrow x$: Ta có: \[ \overrightarrow x = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \] Tính từng phần: - $2\overrightarrow a = 2(2;1) = (4;2)$ - $\overrightarrow b = (3;-4)$ - $-\overrightarrow c = -(-7;2) = (7;-2)$ Cộng các vectơ lại: \[ \overrightarrow x = (4;2) + (3;-4) + (7;-2) = (4+3+7; 2-4-2) = (14;-4) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow x$ là $(14;-4)$. Tìm tọa độ $\overrightarrow y$: Ta có: \[ \overrightarrow y - \overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c \] Suy ra: \[ \overrightarrow y = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \] Tính từng phần: - $\overrightarrow a = (2;1)$ - $\overrightarrow b = (3;-4)$ - $\overrightarrow c = (-7;2)$ Cộng các vectơ lại: \[ \overrightarrow y = (2;1) + (3;-4) + (-7;2) = (2+3-7; 1-4+2) = (-2;-1) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow y$ là $(-2;-1)$. b) Biểu diễn $\overrightarrow z$ theo hai vectơ $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ Giả sử $\overrightarrow z = p\overrightarrow a + q\overrightarrow b$. Để biểu diễn $\overrightarrow z$ theo $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, ta cần biết $\overrightarrow z$ trước. Tuy nhiên, đề bài không cung cấp thông tin về $\overrightarrow z$. Nếu có thông tin cụ thể về $\overrightarrow z$, ta có thể giải hệ phương trình để tìm $p$ và $q$. c) Tìm hai số $m, n$ sao cho $\overrightarrow b = m\overrightarrow a + n\overrightarrow c$ Ta có: \[ \overrightarrow b = (3;-4), \quad \overrightarrow a = (2;1), \quad \overrightarrow c = (-7;2) \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2m - 7n = 3 \\ m + 2n = -4 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ hai: \[ m = -4 - 2n \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 2(-4 - 2n) - 7n = 3 \\ -8 - 4n - 7n = 3 \\ -11n = 11 \\ n = -1 \] Thay $n = -1$ vào $m = -4 - 2n$: \[ m = -4 - 2(-1) = -4 + 2 = -2 \] Vậy $m = -2$ và $n = -1$. Kết luận: $\overrightarrow b = -2\overrightarrow a - \overrightarrow c$. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}, \overrightarrow{NP}\). - Vectơ \(\overrightarrow{MN}\): Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{MN}\) được tính bằng cách lấy tọa độ điểm N trừ đi tọa độ điểm M: \[ \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M) = (1 - 2, 3 - (-1)) = (-1, 4). \] - Vectơ \(\overrightarrow{MP}\): Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{MP}\) được tính bằng cách lấy tọa độ điểm P trừ đi tọa độ điểm M: \[ \overrightarrow{MP} = (x_P - x_M, y_P - y_M) = (-2 - 2, 3 - (-1)) = (-4, 4). \] - Vectơ \(\overrightarrow{NP}\): Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{NP}\) được tính bằng cách lấy tọa độ điểm P trừ đi tọa độ điểm N: \[ \overrightarrow{NP} = (x_P - x_N, y_P - y_N) = (-2 - 1, 3 - 3) = (-3, 0). \] b) Tìm tọa độ điểm A sao cho: \(\overrightarrow{PA} = -3\overrightarrow{MP} + 2\overrightarrow{MN}\). Trước tiên, ta tính \(-3\overrightarrow{MP}\) và \(2\overrightarrow{MN}\): - \(-3\overrightarrow{MP} = -3(-4, 4) = (12, -12)\). - \(2\overrightarrow{MN} = 2(-1, 4) = (-2, 8)\). Tọa độ của \(\overrightarrow{PA}\) là tổng của hai vectơ trên: \[ \overrightarrow{PA} = (12, -12) + (-2, 8) = (10, -4). \] Vì \(\overrightarrow{PA} = (x_A - x_P, y_A - y_P)\), ta có: \[ (x_A - (-2), y_A - 3) = (10, -4). \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_A + 2 = 10 \\ y_A - 3 = -4 \end{cases} \] Từ đó, ta tìm được: \[ \begin{cases} x_A = 8 \\ y_A = -1 \end{cases} \] Vậy tọa độ điểm A là \(A(8, -1)\). c) Tìm tọa độ điểm B sao cho: \(\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{NB} - 4\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{0}\). Đặt \(\overrightarrow{MB} = (x_B - 2, y_B + 1)\), \(\overrightarrow{NB} = (x_B - 1, y_B - 3)\), \(\overrightarrow{PB} = (x_B + 2, y_B - 3)\). Ta có phương trình: \[ (x_B - 2, y_B + 1) + 2(x_B - 1, y_B - 3) - 4(x_B + 2, y_B - 3) = (0, 0). \] Giải từng thành phần: - Thành phần x: \[ (x_B - 2) + 2(x_B - 1) - 4(x_B + 2) = 0. \] \[ x_B - 2 + 2x_B - 2 - 4x_B - 8 = 0. \] \[ -x_B - 12 = 0 \Rightarrow x_B = -12. \] - Thành phần y: \[ (y_B + 1) + 2(y_B - 3) - 4(y_B - 3) = 0. \] \[ y_B + 1 + 2y_B - 6 - 4y_B + 12 = 0. \] \[ -y_B + 7 = 0 \Rightarrow y_B = 7. \] Vậy tọa độ điểm B là \(B(-12, 7)\). Câu 3: Để tìm tọa độ của các điểm \( M \) và \( N \), ta cần giải các phương trình vector đã cho. Tìm tọa độ điểm \( M \) Ta có phương trình vector: \[ 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \] Biểu diễn vector \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\): - \(\overrightarrow{MA} = (2 - x, 5 - y)\) - \(\overrightarrow{MB} = (1 - x, -1 - y)\) Thay vào phương trình: \[ 2(2 - x, 5 - y) + 3(1 - x, -1 - y) = (0, 0) \] Giải từng thành phần: 1. Thành phần hoành độ: \[ 2(2 - x) + 3(1 - x) = 0 \] \[ 4 - 2x + 3 - 3x = 0 \] \[ 7 - 5x = 0 \] \[ 5x = 7 \] \[ x = \frac{7}{5} \] 2. Thành phần tung độ: \[ 2(5 - y) + 3(-1 - y) = 0 \] \[ 10 - 2y - 3 - 3y = 0 \] \[ 7 - 5y = 0 \] \[ 5y = 7 \] \[ y = \frac{7}{5} \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( \left(\frac{7}{5}, \frac{7}{5}\right) \). Tìm tọa độ điểm \( N \) Ta có phương trình vector: \[ \overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0} \] Biểu diễn vector \(\overrightarrow{NA}\) và \(\overrightarrow{NB}\): - \(\overrightarrow{NA} = (2 - x, 5 - y)\) - \(\overrightarrow{NB} = (1 - x, -1 - y)\) Thay vào phương trình: \[ (2 - x, 5 - y) - 2(1 - x, -1 - y) = (0, 0) \] Giải từng thành phần: 1. Thành phần hoành độ: \[ 2 - x - 2(1 - x) = 0 \] \[ 2 - x - 2 + 2x = 0 \] \[ x = 0 \] 2. Thành phần tung độ: \[ 5 - y - 2(-1 - y) = 0 \] \[ 5 - y + 2 + 2y = 0 \] \[ 7 + y = 0 \] \[ y = -7 \] Vậy tọa độ điểm \( N \) là \( (0, -7) \). Kết luận: - Tọa độ điểm \( M \) là \( \left(\frac{7}{5}, \frac{7}{5}\right) \). - Tọa độ điểm \( N \) là \( (0, -7) \). Câu 4: Để tính chu vi của tam giác \(\Delta ABC\), ta cần tính độ dài các cạnh \(AB\), \(BC\), và \(CA\). 1. Tính độ dài cạnh \(AB\): Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \] Với \(A(2, 1)\) và \(B(2, -1)\), ta có: \[ AB = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{0 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Tính độ dài cạnh \(BC\): Sử dụng công thức tương tự: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} \] Với \(B(2, -1)\) và \(C(-3, 1)\), ta có: \[ BC = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] 3. Tính độ dài cạnh \(CA\): Sử dụng công thức tương tự: \[ CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} \] Với \(C(-3, 1)\) và \(A(2, 1)\), ta có: \[ CA = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] 4. Tính chu vi của tam giác \(\Delta ABC\): Chu vi \(P\) của tam giác là tổng độ dài các cạnh: \[ P = AB + BC + CA = 2 + \sqrt{29} + 5 \] Vậy, chu vi của tam giác \(\Delta ABC\) là \(7 + \sqrt{29}\). Câu 5: Để ba điểm \( A(1;1) \), \( B(3;2) \), và \( C(m+4;2m+1) \) thẳng hàng, ta cần điều kiện rằng độ dốc của đường thẳng \( AB \) phải bằng độ dốc của đường thẳng \( BC \). Bước 1: Tính độ dốc của đường thẳng \( AB \) Độ dốc của đường thẳng qua hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \) được tính bằng công thức: \[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Áp dụng cho \( A(1;1) \) và \( B(3;2) \): \[ k_{AB} = \frac{2 - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2} \] Bước 2: Tính độ dốc của đường thẳng \( BC \) Độ dốc của đường thẳng qua hai điểm \( B(3;2) \) và \( C(m+4;2m+1) \) là: \[ k_{BC} = \frac{(2m+1) - 2}{(m+4) - 3} = \frac{2m - 1}{m + 1} \] Bước 3: Thiết lập phương trình cho điều kiện thẳng hàng Để ba điểm thẳng hàng, ta cần: \[ k_{AB} = k_{BC} \] Thay các giá trị đã tính: \[ \frac{1}{2} = \frac{2m - 1}{m + 1} \] Bước 4: Giải phương trình Nhân chéo để loại bỏ phân số: \[ 1 \cdot (m + 1) = 2 \cdot (2m - 1) \] Giải phương trình: \[ m + 1 = 4m - 2 \] Chuyển vế và rút gọn: \[ 1 + 2 = 4m - m \] \[ 3 = 3m \] Chia cả hai vế cho 3: \[ m = 1 \] Kết luận: Vậy giá trị \( m = 1 \) là giá trị để ba điểm \( A \), \( B \), và \( C \) thẳng hàng. Câu 6: Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(1;4) \) và \( B(-4;2) \) với trục hoành, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \): Đầu tiên, ta cần tìm hệ số góc \( m \) của đường thẳng. Hệ số góc \( m \) được tính bằng công thức: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] với \( (x_1, y_1) = (1, 4) \) và \( (x_2, y_2) = (-4, 2) \). Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[ m = \frac{2 - 4}{-4 - 1} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \] 2. Viết phương trình đường thẳng: Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Thay \( m = \frac{2}{5} \), \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 4 \) vào phương trình, ta được: \[ y - 4 = \frac{2}{5}(x - 1) \] Rút gọn phương trình: \[ y - 4 = \frac{2}{5}x - \frac{2}{5} \] \[ y = \frac{2}{5}x + \frac{18}{5} \] 3. Tìm giao điểm với trục hoành: Trục hoành là trục \( x \), nơi mà \( y = 0 \). Do đó, ta đặt \( y = 0 \) trong phương trình đường thẳng để tìm giao điểm: \[ 0 = \frac{2}{5}x + \frac{18}{5} \] Giải phương trình này: \[ \frac{2}{5}x = -\frac{18}{5} \] \[ 2x = -18 \] \[ x = -9 \] Vậy, tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục hoành là \( (-9, 0) \). Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng Để chứng minh 3 điểm không thẳng hàng, ta cần chứng minh diện tích tam giác $ABC$ khác 0. Diện tích tam giác $ABC$ có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Với $A(-3, 6)$, $B(9, -10)$, $C(-5, 4)$, ta có: \[ S = \frac{1}{2} \left| -3(-10 - 4) + 9(4 - 6) + (-5)(6 + 10) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -3(-14) + 9(-2) - 5(16) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 42 - 18 - 80 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -56 \right| = 28 \] Vì $S = 28 \neq 0$, nên 3 điểm $A, B, C$ không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh của $\Delta ABC$ Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ: \[ M\left(\frac{-3 + 9}{2}, \frac{6 - 10}{2}\right) = M(3, -2) \] Trung điểm $N$ của đoạn thẳng $BC$ có tọa độ: \[ N\left(\frac{9 - 5}{2}, \frac{-10 + 4}{2}\right) = N(2, -3) \] Trung điểm $P$ của đoạn thẳng $CA$ có tọa độ: \[ P\left(\frac{-5 - 3}{2}, \frac{4 + 6}{2}\right) = P(-4, 5) \] c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ: \[ G\left(\frac{-3 + 9 - 5}{3}, \frac{6 - 10 + 4}{3}\right) = G\left(\frac{1}{3}, 0\right) \] d) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $BGCD$ là hình bình hành Để tứ giác $BGCD$ là hình bình hành, ta cần có $\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{CD}$. Tọa độ của $G$ là $\left(\frac{1}{3}, 0\right)$ và $B(9, -10)$, do đó: \[ \overrightarrow{BG} = \left(\frac{1}{3} - 9, 0 + 10\right) = \left(-\frac{26}{3}, 10\right) \] Giả sử $D(x, y)$, ta có: \[ \overrightarrow{CD} = (x + 5, y - 4) \] Để $\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{CD}$, ta có hệ phương trình: \[ x + 5 = -\frac{26}{3} \quad \text{và} \quad y - 4 = 10 \] Giải hệ phương trình: 1. $x + 5 = -\frac{26}{3} \Rightarrow x = -\frac{26}{3} - 5 = -\frac{26}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{41}{3}$ 2. $y - 4 = 10 \Rightarrow y = 14$ Vậy tọa độ điểm $D$ là $\left(-\frac{41}{3}, 14\right)$. Như vậy, chúng ta đã hoàn thành tất cả các yêu cầu của bài toán. Câu 8: Để tìm tọa độ đỉnh \( A \) của tam giác \( ABC \), ta sẽ sử dụng các tính chất của trọng tâm và trung điểm trong tam giác. Bước 1: Sử dụng tính chất của trọng tâm Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), và \( C(x_C, y_C) \). Do đó, ta có: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, 0\right) \] Từ đây, ta suy ra hai phương trình: 1. \(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{2}{3}\) 2. \(\frac{y_A + y_B + y_C}{3} = 0\) Giải phương trình thứ nhất: \[ x_A + x_B + x_C = 2 \] Giải phương trình thứ hai: \[ y_A + y_B + y_C = 0 \] Bước 2: Sử dụng tính chất của trung điểm Điểm \( M(1, -1) \) là trung điểm của cạnh \( BC \), do đó: \[ \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = (1, -1) \] Từ đây, ta suy ra hai phương trình: 1. \(\frac{x_B + x_C}{2} = 1\) 2. \(\frac{y_B + y_C}{2} = -1\) Giải phương trình thứ nhất: \[ x_B + x_C = 2 \] Giải phương trình thứ hai: \[ y_B + y_C = -2 \] Bước 3: Tìm tọa độ đỉnh \( A \) Từ các phương trình đã có: - \(x_A + x_B + x_C = 2\) - \(x_B + x_C = 2\) Trừ hai phương trình này, ta được: \[ x_A = 2 - 2 = 0 \] Tương tự, từ: - \(y_A + y_B + y_C = 0\) - \(y_B + y_C = -2\) Trừ hai phương trình này, ta được: \[ y_A = 0 - (-2) = 2 \] Vậy tọa độ đỉnh \( A \) là \( (0, 2) \). Câu 9: Để tìm giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\), ta cần tìm phương trình của từng đường thẳng và sau đó giải hệ phương trình để tìm giao điểm. Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng \(AC\). Điểm \(A(0;1)\) và điểm \(C(2;7)\). Hệ số góc \(m\) của đường thẳng \(AC\) được tính bằng công thức: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 1}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3. \] Phương trình đường thẳng \(AC\) có dạng: \[ y = mx + b. \] Thay \(m = 3\) và tọa độ điểm \(A(0;1)\) vào phương trình: \[ 1 = 3 \cdot 0 + b \Rightarrow b = 1. \] Vậy phương trình đường thẳng \(AC\) là: \[ y = 3x + 1. \] Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng \(BD\). Điểm \(B(1;3)\) và điểm \(D(0;3)\). Hệ số góc \(m\) của đường thẳng \(BD\) là: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 3}{0 - 1} = \frac{0}{-1} = 0. \] Vì hệ số góc \(m = 0\), đường thẳng \(BD\) là đường thẳng song song với trục hoành và có phương trình: \[ y = 3. \] Bước 3: Tìm giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\). Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = 3x + 1 \\ y = 3 \end{cases} \] Thay \(y = 3\) vào phương trình \(y = 3x + 1\): \[ 3 = 3x + 1 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}. \] Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là \(\left(\frac{2}{3}, 3\right)\). Câu 10: Để tìm tọa độ của đỉnh B của hình vuông ABCD, ta cần sử dụng một số tính chất của hình vuông và hình học tọa độ. 1. Tính chất của hình vuông: - Hình vuông có các cạnh bằng nhau. - Hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. 2. Tìm trung điểm của đường chéo AC: - Gọi trung điểm của AC là M. Tọa độ của M được tính bằng công thức trung điểm: \[ M\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = (3, 2) \] 3. Tính độ dài đường chéo AC: - Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm: \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 4. Tìm tọa độ của đỉnh B: - Vì M là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD, và AC vuông góc với BD, ta có thể sử dụng vector để tìm tọa độ của B. - Vector \(\overrightarrow{AC} = (4 - 2, 3 - 1) = (2, 2)\). - Vector \(\overrightarrow{BD}\) sẽ vuông góc với \(\overrightarrow{AC}\), do đó \(\overrightarrow{BD} = (-2, 2)\) hoặc \(\overrightarrow{BD} = (2, -2)\). - Tọa độ của B có thể được tính từ M bằng cách cộng hoặc trừ vector \(\overrightarrow{BD}\): - Nếu \(\overrightarrow{BD} = (-2, 2)\), thì \(B = M + \overrightarrow{BD} = (3 - 2, 2 + 2) = (1, 4)\). - Nếu \(\overrightarrow{BD} = (2, -2)\), thì \(B = M + \overrightarrow{BD} = (3 + 2, 2 - 2) = (5, 0)\). 5. Kết luận: - Tọa độ của đỉnh B có thể là \(B(1, 4)\) hoặc \(B(5, 0)\). Câu 11: Để tìm tọa độ chân đường phân giác trong của góc \( A \) của tam giác \( ABC \), ta cần sử dụng định lý đường phân giác trong tam giác. Định lý này cho biết đường phân giác trong của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó. Cụ thể, nếu \( D \) là chân đường phân giác trong của góc \( A \) thì: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] Bước 1: Tính độ dài các cạnh \( AB \) và \( AC \) - Độ dài \( AB \) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (-6 - 4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \] - Độ dài \( AC \): \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( D \) Theo định lý đường phân giác, ta có: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{5}{3} \] Điểm \( D \) nằm trên đoạn \( BC \), nên tọa độ của \( D \) có dạng: \[ D(x_D, y_D) = \left( \frac{x_B \cdot DC + x_C \cdot BD}{BD + DC}, \frac{y_B \cdot DC + y_C \cdot BD}{BD + DC} \right) \] Với \( BD = 5k \) và \( DC = 3k \) (vì \( \frac{BD}{DC} = \frac{5}{3} \)), ta có: \[ x_D = \frac{-3 \cdot 3k + 5 \cdot 5k}{5k + 3k} = \frac{-9k + 25k}{8k} = \frac{16k}{8k} = 2 \] \[ y_D = \frac{-6 \cdot 3k + (-2) \cdot 5k}{5k + 3k} = \frac{-18k - 10k}{8k} = \frac{-28k}{8k} = -\frac{28}{8} = -\frac{7}{2} \] Vậy tọa độ chân đường phân giác trong của góc \( A \) là \( D(2, -\frac{7}{2}) \). Câu 12: Để tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc trục tung sao cho \( M \) cách đều hai điểm \( A \) và \( B \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \): - Tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) là: \[ I\left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = I(1, 0) \] - Vector chỉ phương của đoạn thẳng \( AB \) là: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - (-1), 1 - (-1)) = (4, 2) \] - Vector pháp tuyến của đường trung trực là vector vuông góc với \(\overrightarrow{AB}\), có thể chọn là \((2, -4)\). - Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \) đi qua điểm \( I(1, 0) \) và có vector pháp tuyến \((2, -4)\) là: \[ 2(x - 1) - 4(y - 0) = 0 \] \[ 2x - 4y - 2 = 0 \] \[ x - 2y - 1 = 0 \] 2. Tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc trục tung: - Vì \( M \) thuộc trục tung, nên tọa độ của \( M \) có dạng \( M(0, y) \). - Thay \( x = 0 \) vào phương trình đường trung trực: \[ 0 - 2y - 1 = 0 \] \[ -2y = 1 \] \[ y = -\frac{1}{2} \] - Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( M\left(0, -\frac{1}{2}\right) \). Kết luận: Tọa độ điểm \( M \) thuộc trục tung sao cho \( M \) cách đều hai điểm \( A \) và \( B \) là \( M\left(0, -\frac{1}{2}\right) \).