Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài tập 1: Để giải quyết các bài toán về vectơ trong hình bình hành, ta cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và trung điểm. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu: a) \(2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC}\) - Trong hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, \(O\) là trung điểm của \(AC\). - Suy ra: \(\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\). - Nhân cả hai vế với 2, ta có: \(2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC}\). b) \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OD}\) - Tương tự, \(O\) là trung điểm của \(DB\) vì \(O\) là giao điểm của hai đường chéo trong hình bình hành. - Suy ra: \(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\). - Do đó, \(-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{OD}\). c) \(2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}\) - \(M\) là trung điểm của \(AB\). - Suy ra: \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - Nhân cả hai vế với 2, ta có: \(2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}\). d) \(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BM}\) - Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\). Như vậy, các kết quả trên đều đúng với các tính chất của hình bình hành và trung điểm. Bài tập 2: Chúng ta sẽ giải quyết từng phép toán một cách chi tiết: a) \(2(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = 2\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}\) - Đây là tính chất phân phối của phép nhân với vectơ. Khi nhân một số với tổng của hai vectơ, ta có thể phân phối số đó vào từng vectơ. b) \((a-b)\overrightarrow{m}\) - Đây là phép nhân một số với một vectơ. Kết quả là một vectơ có độ dài bằng \(|a-b|\) lần độ dài của \(\overrightarrow{m}\) và cùng hướng hoặc ngược hướng với \(\overrightarrow{m}\) tùy thuộc vào dấu của \(a-b\). c) \(7(-3\overrightarrow{c}) = -21\overrightarrow{c}\) - Nhân số với vectơ: \(7 \times (-3) = -21\). Kết quả là một vectơ có độ dài bằng 21 lần độ dài của \(\overrightarrow{c}\) và ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\). d) \(\overrightarrow{c} + 7\overrightarrow{c} = 8\overrightarrow{c}\) - Cộng các vectơ cùng hướng: \(1\overrightarrow{c} + 7\overrightarrow{c} = 8\overrightarrow{c}\). e) \(\overrightarrow{9c-7c} = 2\overrightarrow{c}\) - Trừ các vectơ cùng hướng: \(9\overrightarrow{c} - 7\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c}\). f) \(-3(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = -3\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}\) - Áp dụng tính chất phân phối: \(-3\) nhân vào từng vectơ trong ngoặc. g) \((2a+b)\overrightarrow{n} = 2a\overrightarrow{n} + b\overrightarrow{n}\) - Tính chất phân phối của phép nhân với vectơ. h) \(-3\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\right) = -2\overrightarrow{c}\) - Nhân số với vectơ: \(-3 \times \frac{2}{3} = -2\). i) \(\overrightarrow{2a+7a} = 9\overrightarrow{a}\) - Cộng các vectơ cùng hướng: \(2\overrightarrow{a} + 7\overrightarrow{a} = 9\overrightarrow{a}\). j) \(3\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} = \frac{8}{3}\overrightarrow{b}\) - Quy đồng mẫu số: \(3 = \frac{9}{3}\), do đó \(\frac{9}{3}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} = \frac{8}{3}\overrightarrow{b}\). Hình ảnh không liên quan đến bài toán này, nên không cần xử lý. Bài tập 3: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của tổng hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ trong hình chữ nhật $ABCD$. 1. Tính độ dài các đường chéo: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau. Ta có: \[ AC = BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 2. Tính tổng hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$: Do $O$ là tâm của hình chữ nhật, nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{OC} \] 3. Tính độ dài của $\overrightarrow{OC}$: Vì $O$ là trung điểm của $AC$, nên $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Do đó: \[ |\overrightarrow{OC}| = \frac{1}{2} \times |AC| = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2} \] 4. Tính độ dài của $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$: Từ bước 2, ta có: \[ |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}| = |2\overrightarrow{OC}| = 2 \times |\overrightarrow{OC}| = 2 \times \frac{5}{2} = 5 \] Vậy, độ dài của $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ là 5. Bài tập 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ và các tính chất của tam giác. a) Tìm điểm \( K \) sao cho \(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{CB}\). Bước 1: Biểu diễn các vectơ theo các vectơ gốc. Ta có: \[ \overrightarrow{KA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{K} \] \[ \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{K} \] \[ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] Bước 2: Thay vào phương trình đã cho: \[ \overrightarrow{A} - \overrightarrow{K} + 2(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{K}) = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] Bước 3: Rút gọn phương trình: \[ \overrightarrow{A} - \overrightarrow{K} + 2\overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{K} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{K} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} \] Bước 4: Chuyển vế và rút gọn: \[ 3\overrightarrow{K} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{K} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \] Vậy, điểm \( K \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \). b) Tìm điểm \( M \) sao cho \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}\). Bước 1: Biểu diễn các vectơ theo các vectơ gốc. Ta có: \[ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} \] \[ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M} \] \[ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M} \] Bước 2: Thay vào phương trình đã cho: \[ (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + 2(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}) = \overrightarrow{0} \] Bước 3: Rút gọn phương trình: \[ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{C} - 4\overrightarrow{M} = \overrightarrow{0} \] Bước 4: Chuyển vế và rút gọn: \[ 4\overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{M} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{C}) \] Vậy, điểm \( M \) là điểm chia đoạn \( \overline{AB} \) theo tỉ lệ \( 1:2 \) từ \( C \). Kết luận: - Điểm \( K \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \). - Điểm \( M \) là điểm chia đoạn \( \overline{AB} \) theo tỉ lệ \( 1:2 \) từ \( C \). Bài tập 5: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Phân tích bài toán: Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại $B$, với góc $A = 30^\circ$ và $AB = a$. Ta cần tính độ dài của các vectơ tổng và các đoạn thẳng liên quan. a) Tính $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |BD| = BD = 2a\sqrt{3}$ 1. Xác định các cạnh của tam giác: - Vì $\Delta ABC$ vuông tại $B$ và $A = 30^\circ$, ta có: \[ \angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] - Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: \[ BC = AB \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \] \[ AC = AB \cdot \frac{1}{\cos(30^\circ)} = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] 2. Tính $|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}|$: - Vectơ $\overrightarrow{BA}$ có độ dài $a$ và hướng từ $B$ đến $A$. - Vectơ $\overrightarrow{BC}$ có độ dài $\frac{a}{\sqrt{3}}$ và hướng từ $B$ đến $C$. - Tổng của hai vectơ này là $\overrightarrow{BD}$, với $D$ là điểm trên đường thẳng $AC$. 3. Tính độ dài $BD$: - Do $D$ nằm trên đường thẳng $AC$, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ABD$: \[ BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] b) Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AE}| = AE$ 1. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có độ dài $a$ và hướng từ $A$ đến $B$. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có độ dài $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ và hướng từ $A$ đến $C$. - Tổng của hai vectơ này là $\overrightarrow{AE}$, với $E$ là điểm trên đường thẳng $BC$. 2. Tính độ dài $AE$: - Do $E$ nằm trên đường thẳng $BC$, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ABE$: \[ AE = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = \frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{3}} \] Kết luận: - a) Độ dài $BD = \frac{2a}{\sqrt{3}}$. - b) Độ dài $AE = \frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{3}}$. Bài tập 6: Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý sin trong tam giác. Cho tam giác đều \( \triangle ABC \) với cạnh \( a \). Ta cần tính \( \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{BD}{\sin 90^\circ} \). Bước 1: Xác định các góc trong tam giác - Tam giác đều \( \triangle ABC \) có các góc bằng \( 60^\circ \). Bước 2: Áp dụng định lý sin Định lý sin trong tam giác \( \triangle ABC \) cho ta: \[ \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{BD}{\sin 90^\circ} \] Bước 3: Tính giá trị các sin - \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\sin 90^\circ = 1\) Bước 4: Thay vào công thức Thay các giá trị vào công thức: \[ \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BD}{1} \] Bước 5: Giải phương trình Giải phương trình trên: \[ BD = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] Vậy, độ dài \( BD \) là \( \frac{2a}{\sqrt{3}} \).